On contiguity of probability measures corresponding to semimartingales
Soit (\({\mathbb{D}},{\mathcal D})\) l'espace mesurable des fonctions X de \({\mathbb{R}}^+\) dans \({\mathbb{R}}\), continues à droite, admettant des limites à gauche avec \({\mathcal D}=\bigvee_{t\geq 0}{\mathcal F}_ t\) où \({\mathcal F}_ t=\cap_{\epsilon >0}\sigma \{X_ s,0\leq s\leq t+\epsilon \}.\) Soit \((P^ n)\) et \((\tilde P^ n)\) deux suites de probabilités définies sur (\({\mathbb{D}},{\mathcal D})\); on notera \(Q^ n=(P^ n+\tilde P^ n)/2\), \({\mathcal D}^ n\) la complétion de \({\mathcal D}\) pour \(Q^ n\) et \(F^ n=({\mathcal F}^ n_ t)_{t\geq 0}\) où \({\mathcal F}^ n_ t\) est la tribu \({\mathcal F}_ t\) complétée des ensembles de \(Q^ n\) mesure nulle de \({\mathcal D}^ n\). \((\tilde P^ n)\) est dite contigue par rapport à \((P^ n)\) (et on écrit \((\tilde P^ n)\triangleleft (P^ n))\) si pour toute suite \((A^ n)_{n\geq 1}\) d'ensembles où \(A^ n\in {\mathcal D}^ n\), on a l'implication: \[ \lim_{n\uparrow \infty}P^ n(A^ n)=0\Rightarrow \lim_{n\uparrow \infty}\tilde P^ n(A^ n)=0. \] Ce papier en continuité d'autres articles des mêmes auteurs et complétant des travaux de Eagleson, Gundy, Jacod, Mémin, Pukelsheim, présente (en termes de prévisibilité) des conditions nécessaires et suffisantes pour la contiguité \((\tilde P^ n)\triangleleft (P^ n)\), lorsque le processus canonique X défini sur (\({\mathbb{D}},{\mathcal D}^ n)\) est une \((F^ n,P^ n)\) (resp: \((F^ n,\tilde P^ n))\) semimartingale. Le résultat de base de cet article est d'exprimer ces conditions à partir des triplets de caractéristiques locales de la \((F^ n,P^ n)\), \((F^ n,\tilde P^ n)\) semimartingale X. Différents exemples sont considérés: cas où \(P^ n\), \(\tilde P^ n\) sont des lois de processus ponctuels, ou des lois de processus à accroissements indépendants, ou des lois de processus à trajectoires continues de type: diffusion généralisée.
necessary and sufficient conditions for the contiguity
scientific article; zbMATH DE number 3949404