Groupes algébriques et grands degrés de transcendance. Appendice: Déformation d'un groupe algébrique par J. Fresnel. (Algebraic groups and large transcendence degrees)
L'A. développe dans ce texte une nouvelle approche des démonstrations d'indépendance algébrique pour les grands degrés de transcendance. Il généralise ainsi aux groupes algébriques quelconques des résultats jusqu'alors connus seulement en une variable pour la fonction exponentielle et sous une forme plus faible pour certaines fonctions elliptiques (cf. référence [MW2] due texte). L'auteur explicite dans les {\S}{\S} 12 à 15 différents corollaires intéressants de son théorème principal, d'abord sur les valeurs de fonctions exponentielle et elliptiques en plusieurs variables puis sur les valeurs de fonctions zétas et sigma et enfin sur les valeurs de fonctions abéliennes. Une des originalités de la démonstration de ces résultats est l'utilisation d'une méthode de petites perturbations ({\S} 5) pour éliminer les zéros de la fonction auxiliaire au voisinagge du point considéré. Ceci permet d'éviter le recours à un lemme de petites valeurs comme le lemme de Tijdeman apparaissant auparavant dans la démonstration du cas exponentiel en une variable et aussi de ne pas faire d'hypothèse sur les endomorphismes du groupe. La méthode de l'auteur opère même lorsque le groupe algébrique est lui-même défini sur une extension transcendante de \({\mathbb{Q}}\). La mise en oeuvre est alors un peu délicate et fait l'objet de l'important {\S} 10. Les lecteurs préférant la géométrie des schémas à l'algèbre trouverons en appendice une autre démonstration de la proposition 10.1, par \textit{J. Fresnel}, reposant sur EGA4.
scientific article; zbMATH DE number 3950628