Groupes algébriques et grands degrés de transcendance. Appendice: Déformation d'un groupe algébrique par J. Fresnel. (Algebraic groups and large transcendence degrees)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Groupes algébriques et grands degrés de transcendance. Appendice: Déformation d'un groupe algébrique par J. Fresnel. (Algebraic groups and large transcendence degrees)
zbMATH Open document ID: 0592.10028
DOI: 10.1007/BF02399205
published in: Acta Mathematica
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: L'A. développe dans ce texte une nouvelle approche des démonstrations d'indépendance algébrique pour les grands degrés de transcendance. Il généralise ainsi aux groupes algébriques quelconques des résultats jusqu'alors connus seulement en une variable pour la fonction exponentielle et sous une forme plus faible pour certaines fonctions elliptiques (cf. référence [MW2] due texte). L'auteur explicite dans les {\S}{\S} 12 à 15 différents corollaires intéressants de son théorème principal, d'abord sur les valeurs de fonctions exponentielle et elliptiques en plusieurs variables puis sur les valeurs de fonctions zétas et sigma et enfin sur les valeurs de fonctions abéliennes. Une des originalités de la démonstration de ces résultats est l'utilisation d'une méthode de petites perturbations ({\S} 5) pour éliminer les zéros de la fonction auxiliaire au voisinagge du point considéré. Ceci permet d'éviter le recours à un lemme de petites valeurs comme le lemme de Tijdeman apparaissant auparavant dans la démonstration du cas exponentiel en une variable et aussi de ne pas faire d'hypothèse sur les endomorphismes du groupe. La méthode de l'auteur opère même lorsque le groupe algébrique est lui-même défini sur une extension transcendante de \({\mathbb{Q}}\). La mise en oeuvre est alors un peu délicate et fait l'objet de l'important {\S} 10. Les lecteurs préférant la géométrie des schémas à l'algèbre trouverons en appendice une autre démonstration de la proposition 10.1, par \textit{J. Fresnel}, reposant sur EGA4.
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 14H52
Mathematics Subject Classification ID: 14L10
zbMATH DE Number: 3950628
zbMATH Keywords: algebraic independence
zbMATH Keywords: large transcendence degrees
zbMATH Keywords: algebraic
zbMATH Keywords: groups
zbMATH Keywords: deformations
zbMATH Keywords: values of exponential function
zbMATH Keywords: elliptic
zbMATH Keywords: functions in several variables
zbMATH Keywords: zeta-functions
zbMATH Keywords: sigma function
zbMATH Keywords: abelian function
author: Michel Waldschmidt
reviewed by: Patrice Philippon
MaRDI profile type: Publication
cites work: Elliptic functions and transcendence
cites work: Zero estimates on group varieties. I
cites work: Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions
cites work: Sous-groupes analytiques de groupes algébriques
Wikidata QID: Q57377791
description: scientific article; zbMATH DE number 3950628