Existence and multiplicity of geodesics with constraints and varying end points
Sei \(N\subset {\mathbb{R}}^ n\) eine geschlossene \(C^ 2\)- Untermannigfaltigkeit. Sei \(h: N\to {\mathbb{R}}\) eine \(C^ 2\)-Funktion mit 0 als regulärem Wert. Sei \(M=h^{-1}(-\infty,0]\). Seien \(N_ 0,N_ 1\) geschlossene \(C^ 2\)-Untermannigfaltigkeiten von N, seien \(h_ j: N_ j\to {\mathbb{R}}\) \(C^ 2\)-Funktionen mit regulärem Wert 0, und \(M_ j=h_ j^{-1}(-\infty,0]\). Weiterhin gelte: M ist zusammenhängend, einfach zusammenhängend und nicht in sich zusammenziehbar, \(M_ 0\) oder \(M_ 1\) ist beschränkt, \(M_ 0\) und \(M_ 1\) ist in M zusammenziehbar. Das Hauptresultat besagt dann: Es gibt Geodätische beliebig großer Länge \(\gamma\) : [0,1]\(\to M\), die \(M_ 0\) mit \(M_ 1\) verbinden, so daß \({\dot \gamma}\)(0) orthogonal zu \(M_ 0\) falls \(\gamma (0)\in \partial M_ 0\) und sonst orthogonal zu \(\partial M_ 0\) ist und analog für \(\gamma\) (1) und \(M_ 1\). Mit Hilfe des Einbettungssatzes von Nash kann man dann ein ähnliches Resultat für nicht eingebettete Riemannsche \(C^ 3\)-Mannigfaltigkeiten N erhalten.
scientific article; zbMATH DE number 3951488