On Euler's \(\varphi\)-function in quadratic number fields
type: Item
instance of: scholarly article
title: On Euler's \(\varphi\)-function in quadratic number fields
zbMATH Open document ID: 0594.12001
DOI: 10.1007/BF01490207
author: Werner Georg Nowak
published in: Monatshefte für Mathematik
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/178296
review text: Es bezeichne \(\varphi(\mathfrak a)\) die Eulersche Funktion in einem beliebigen quadratischen Zahlkörper \(K\), und \(E_K(x)\), \(H_K(x)\) seien die Restglieder in den asymptotischen Formeln \(\sum_{N(\mathfrak a)\leq x} \varphi(\mathfrak a) = Cx^2+E_K(x)\) bzw. \(\sum_{N(\mathfrak a)\leq x} \varphi ({\mathfrak a}) N({\mathfrak a})^{-1}=2C x+H_ K(x)\), wobei N(\({\mathfrak a})\) die Norm des ganzen Ideals \({\mathfrak a}\) von \(K\) bezeichnet und \(C=\rho (2\zeta_K(2))^{-1}\) ist, \(\rho\) das Residuum der Dedekindschen Zetafunktion \(\zeta_K(s)\) in \(s=1\). In Verallgemeinerung klassischer Resultate von \textit{S. S. Pillai} und \textit{S. D. Chowla} [J. Lond. Math. Soc. 5, 95--101 (1930; JFM 56.0889.01)] sowie \textit{D. Suryanarayana} und \textit{R. Sitaramachandra Rao} [Ark. Mat. 10, 99--106 (1972; Zbl 0233.10026)] für den rationalen Fall werden in der vorliegenden Note die asymptotischen Aussagen \[ \sum^N_{n=1} E_K(n)\sim C/2 N^2\tag{1} \] und \[ \sum^N_{n=1} H_K(n)\sim C N \tag{2} \] bewiesen. Als wesentliches Hilfsmittel findet dabei ein Ergebnis von \textit{K. Chandrasekharan} und \textit{R. Narasimhan} [Ann. Math. (2) 76, 93--136 (1962; Zbl 0211.37901)] über \(\int^t_0\left(\sum_{N(\mathfrak a)\leq u}1\right)\, du\) Verwendung. Wie abschließend bemerkt wird, lassen sich die in (1) und (2) enthaltenen Restterme \(o(1)\) zu \(O(\exp(-c (\log N)^{3/5} (\log \log N)^{-1/5}))\) mit \(c>0\) verschärfen. [Vgl. auch die Arbeit des Verf., Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 56, 245--252 (1986; Zbl 0616.10030).]
Mathematics Subject Classification ID: 11R11
Mathematics Subject Classification ID: 11N37
Mathematics Subject Classification ID: 11R42
Mathematics Subject Classification ID: 11A25
zbMATH DE Number: 3955041
zbMATH Keywords: Euler's phi-function
zbMATH Keywords: quadratic number fields
zbMATH Keywords: Dedekind zeta-function
MaRDI profile type: Publication
cites work: Functional equations with multiple gamma factors and the average order of arithmetical functions
cites work: Q5800841
cites work: Q5810619
cites work: Q3309910
cites work: On the average order of the function \(E(x) = \sum_{n\leq x}\varphi(n)-{{3x^ 2}\over{\pi^ 2}}\).
cites work: Q3926689
cites work: Q5523060
OpenAlex ID: W2320109466
Recommended article: Q4732528
Recommended article: THE EULER TOTIENT FUNCTION ON QUADRATIC FIELDS
Recommended article: Q5537490
Recommended article: A note on Euler's \(\varphi\)-function
Recommended article: The Euler φ-Function in the Gaussian Integers
Recommended article: An Euler phi function for the Eisenstein integers and some applications
Recommended article: The distribution of Euler-Kronecker constants of quadratic fields
Recommended article: Q5803347
Recommended article: Some remarks on Euler’s 𝜙 function and some related problems
description: scientific article; zbMATH DE number 3955041