On Euler's \(\varphi\)-function in quadratic number fields
Es bezeichne \(\varphi(\mathfrak a)\) die Eulersche Funktion in einem beliebigen quadratischen Zahlkörper \(K\), und \(E_K(x)\), \(H_K(x)\) seien die Restglieder in den asymptotischen Formeln \(\sum_{N(\mathfrak a)\leq x} \varphi(\mathfrak a) = Cx^2+E_K(x)\) bzw. \(\sum_{N(\mathfrak a)\leq x} \varphi ({\mathfrak a}) N({\mathfrak a})^{-1}=2C x+H_ K(x)\), wobei N(\({\mathfrak a})\) die Norm des ganzen Ideals \({\mathfrak a}\) von \(K\) bezeichnet und \(C=\rho (2\zeta_K(2))^{-1}\) ist, \(\rho\) das Residuum der Dedekindschen Zetafunktion \(\zeta_K(s)\) in \(s=1\). In Verallgemeinerung klassischer Resultate von \textit{S. S. Pillai} und \textit{S. D. Chowla} [J. Lond. Math. Soc. 5, 95--101 (1930; JFM 56.0889.01)] sowie \textit{D. Suryanarayana} und \textit{R. Sitaramachandra Rao} [Ark. Mat. 10, 99--106 (1972; Zbl 0233.10026)] für den rationalen Fall werden in der vorliegenden Note die asymptotischen Aussagen \[ \sum^N_{n=1} E_K(n)\sim C/2 N^2\tag{1} \] und \[ \sum^N_{n=1} H_K(n)\sim C N \tag{2} \] bewiesen. Als wesentliches Hilfsmittel findet dabei ein Ergebnis von \textit{K. Chandrasekharan} und \textit{R. Narasimhan} [Ann. Math. (2) 76, 93--136 (1962; Zbl 0211.37901)] über \(\int^t_0\left(\sum_{N(\mathfrak a)\leq u}1\right)\, du\) Verwendung. Wie abschließend bemerkt wird, lassen sich die in (1) und (2) enthaltenen Restterme \(o(1)\) zu \(O(\exp(-c (\log N)^{3/5} (\log \log N)^{-1/5}))\) mit \(c>0\) verschärfen. [Vgl. auch die Arbeit des Verf., Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 56, 245--252 (1986; Zbl 0616.10030).]
scientific article; zbMATH DE number 3955041
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