Über nichtlineare, konkave elliptische Differentialgleichungen. (On nonlinear concave elliptic differential equations)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über nichtlineare, konkave elliptische Differentialgleichungen. (On nonlinear concave elliptic differential equations)
zbMATH Open document ID: 0594.35033
DOI: 10.1007/BF01162718
author: Friedmar Schulz
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/173686
review text: Die Arbeit beschäftigt sich mit a priori Abschätzungen für die Höldernormen der zweiten Ableitungen der Lösungen nichtlinearer elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung \[ F(x,u,Du,D^ 2u)=0) \tag{1} \] in einem Gebiet \(\Omega \subset \mathbb{R}^ n\) (\(n\geq 2\)). Dabei ist \(F=F(x,u,u_ i,u_{kl})\) eine bzgl. \(u_{kl}\) konkave (oder konvexe) Funktion, die den folgenden Bedinungen genügt: A(i) \(F\) ist gleichmäßig elliptisch bzgl. u, d. h. für \(x\in \Omega\), \(\xi \in \mathbb{R}^ n\) gilt \[ \lambda | \xi |^ 2 \leq F_{u_{ij}}(x,u(x),Du(x),D^ 2u(x))\xi_ i\xi_ j \leq \Lambda | \xi |^ 2 \tag{2} \] mit positiven Konstanten \(\lambda\), \(\Lambda\). A(ii) Für \(x\in \Omega\), \((\eta_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n}\) und \(u_{kl}\subset conv\{D^ 2u(x)\}\) gilt \[ F_{u_{ij}u_{pq}}(x,u(x),Du(x),u_{kl})\eta_{ij}\eta_{pq} \leq 0 \quad (\geq 0). \tag{3} \] Darüber hinaus werden von \(F\) in quantitativer Hinsicht alternativ die folgenden Voraussetzungen benötigt: A(iii) Die partiellen Ableitungen von \(F\) und die von \(\partial F| \partial u_{ij} \sin d\) dem Betrag nach durch eine Konstante \(K\) beschränkt. A(iii)' Die partiellen Ableitungen von \(F\) und die von \(\partial F| \partial u_ i, \partial F| \partial u, \partial F| \partial x_ k \sin d\) dem Betrag nach durch eine Konstante \(K\) beschränkt. Es sei jetzt \(u(x)\in C^ 4(\Omega)\) eine Lösung von (1) mit (4) \(\| u\|_{C^ 2(\Omega)}\leq M\), wobei die Voraussetzungen A(i)--(iii) oder (iii)' erfüllt sind. Dann genügen died zweiten Ableitungen von \(u(x)\) in jeder Teilmenge \(\Omega' \subset \subset \Omega\) einer Hölderbedingung (5) \([D^ 2u]_{\alpha,\Omega '}\leq C\) mit \(0<\alpha =\alpha (n,\lambda,K,M)\) und \(C = C(n,\lambda,K,M, \text{dist}(\Omega', \partial \Omega)) < +\infty.\) Gilt zusätzlich \(\Omega \subset C^ 3\), \(u(x)\in C^ 4({\bar \Omega})\) und \(u| \partial \Omega =\Phi\) mit \(\Phi \in C^ 3({\bar \Omega})\), so hat man (6) \([D^ 2u]_{\alpha,{\bar \Omega}}\leq C\), wobei \(\alpha\)…
Mathematics Subject Classification ID: 35J15
Mathematics Subject Classification ID: 35J60
Mathematics Subject Classification ID: 35B45
Mathematics Subject Classification ID: 35B65
zbMATH DE Number: 3955531
zbMATH Keywords: Hamilton-Jacobi-Bellmann equation
zbMATH Keywords: nonlinear elliptic equations
zbMATH Keywords: a priori estimates to the second derivation
zbMATH Keywords: Monge-Ampère
zbMATH Keywords: equation
reviewed by: Erhard Heinz
MaRDI profile type: Publication
cites work: The dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations. II. Complex monge-ampère, and uniformaly elliptic, equations
cites work: The dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations I. Monge-ampégre equation
cites work: Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens
cites work: Multiple Integrals in the Calculus of Variations and Nonlinear Elliptic Systems. (AM-105)
cites work: Q3946513
cites work: Q5187597
cites work: The Green function for uniformly elliptic equations
cites work: Q3662317
cites work: Q4750171
cites work: BOUNDEDLY NONHOMOGENEOUS ELLIPTIC AND PARABOLIC EQUATIONS
cites work: Q3732151
cites work: Q3909783
cites work: Nonlinear Oblique Boundary Value Problems for Nonlinear Elliptic Equations
cites work: Q5725878
cites work: On nonlinear elliptic partial differential equations and hölder continuity
cites work: Q4169389
cites work: Q3907899
cites work: A priori estimates for solutions of Monge-Ampère equations
cites work: Q3692133
cites work: Local estimates for subsolutions and supersolutions of general second order elliptic quasilinear equations
cites work: Fully Nonlinear, Uniformly Elliptic Equations Under Natural Structure Conditions
description: scientific article; zbMATH DE number 3955531