Über nichtlineare, konkave elliptische Differentialgleichungen. (On nonlinear concave elliptic differential equations)
Die Arbeit beschäftigt sich mit a priori Abschätzungen für die Höldernormen der zweiten Ableitungen der Lösungen nichtlinearer elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung \[ F(x,u,Du,D^ 2u)=0) \tag{1} \] in einem Gebiet \(\Omega \subset \mathbb{R}^ n\) (\(n\geq 2\)). Dabei ist \(F=F(x,u,u_ i,u_{kl})\) eine bzgl. \(u_{kl}\) konkave (oder konvexe) Funktion, die den folgenden Bedinungen genügt: A(i) \(F\) ist gleichmäßig elliptisch bzgl. u, d. h. für \(x\in \Omega\), \(\xi \in \mathbb{R}^ n\) gilt \[ \lambda | \xi |^ 2 \leq F_{u_{ij}}(x,u(x),Du(x),D^ 2u(x))\xi_ i\xi_ j \leq \Lambda | \xi |^ 2 \tag{2} \] mit positiven Konstanten \(\lambda\), \(\Lambda\). A(ii) Für \(x\in \Omega\), \((\eta_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n}\) und \(u_{kl}\subset conv\{D^ 2u(x)\}\) gilt \[ F_{u_{ij}u_{pq}}(x,u(x),Du(x),u_{kl})\eta_{ij}\eta_{pq} \leq 0 \quad (\geq 0). \tag{3} \] Darüber hinaus werden von \(F\) in quantitativer Hinsicht alternativ die folgenden Voraussetzungen benötigt: A(iii) Die partiellen Ableitungen von \(F\) und die von \(\partial F| \partial u_{ij} \sin d\) dem Betrag nach durch eine Konstante \(K\) beschränkt. A(iii)' Die partiellen Ableitungen von \(F\) und die von \(\partial F| \partial u_ i, \partial F| \partial u, \partial F| \partial x_ k \sin d\) dem Betrag nach durch eine Konstante \(K\) beschränkt. Es sei jetzt \(u(x)\in C^ 4(\Omega)\) eine Lösung von (1) mit (4) \(\| u\|_{C^ 2(\Omega)}\leq M\), wobei die Voraussetzungen A(i)--(iii) oder (iii)' erfüllt sind. Dann genügen died zweiten Ableitungen von \(u(x)\) in jeder Teilmenge \(\Omega' \subset \subset \Omega\) einer Hölderbedingung (5) \([D^ 2u]_{\alpha,\Omega '}\leq C\) mit \(0<\alpha =\alpha (n,\lambda,K,M)\) und \(C = C(n,\lambda,K,M, \text{dist}(\Omega', \partial \Omega)) < +\infty.\) Gilt zusätzlich \(\Omega \subset C^ 3\), \(u(x)\in C^ 4({\bar \Omega})\) und \(u| \partial \Omega =\Phi\) mit \(\Phi \in C^ 3({\bar \Omega})\), so hat man (6) \([D^ 2u]_{\alpha,{\bar \Omega}}\leq C\), wobei \(\alpha\) und C nur von n,\(\lambda\),K,M,\(\Omega\) und einer oberen Schranke von \(\| \Phi \|_{C^ 3({\bar \Omega})}\) abhängen. Die Aussagen im Falle A(iii) sind neu. Die Beweise sind durchsichtiger als die in der bisherigen Literatur. Bemerkenswert ist, daß ein nichtkonstruktives Beweiselement (Lemma von Motzkin-Wasow), das in allen bisherigen Betrachtungen auftrat, eliminiert wird.
a priori estimates to the second derivation
scientific article; zbMATH DE number 3955531
scientific article