Two counterexamples in power series rings
Un anneau commutatif unitaire R est appelé seminormal si pour b,c\(\in R\) avec \(b^ 3=c^ 2\) il existe \(a\in R\) tel que \(a^ 3=c\) et \(a^ 2=b\). Les AA. donnent un exemple d'anneau R qui est seminormal tel que l'anneau de séries formelles \(RX\) n'est pas seminormal et un exemple d'anneau S tel que dans l'anneau \(SX\) il existe \(f=\sum^{\infty}_{i=0}a_ iX^ i\quad telle\) que \(f^ 2=0\) et il n'existe pas un entier \(k\geq 0\) tel que \(a^ k_ i=0\) pour tout \(i\in {\mathbb{N}}\). On demontre aussi que pour tout anneau commutatif R et \(f=\sum^{\infty}_{i=0}a_ iX^ i\quad dans\) \(RX\) si \(f^ 2=0\) et 2 est inversible dans R, alors \(a_ n^{n+2}=0\) pour tout \(n\in {\mathbb{N}}\) et si \(f^ r=0\) on a \(a^ t_ n=0\) pour \(t\geq 2(r-1)(n+1)\) et si, de plus, r est inversible dans R et \(r\geq 3\) on a \(a^ t_ n=0\) pour \(t\geq (r-2)(2n+3)\).
scientific article; zbMATH DE number 3957266