How small are the increments of the local time of a Wiener process?
Les auteurs considerent le comportement asymptotique des acroissements du temps local L(x,t) du processus de Wiener W(t). Le travail est divisé en deux parties, dans la premiere ils étudient les acroissements petits de \(L(t)=L(0,t)\). Si \(a_ T\) est une fonction de T nondecroissante avec \(0<a_ T\leq T\) et \(a_ T/T\) est noncroissante, ils definissent \[ R(T,a_ T)=\inf (L(t)-L(t-a_ T));\quad a_ T\leq t\leq T. \] Soient alors \(f_ 1\) et \(f_ 2\) deux fonctions vérifiant les conditions établies dans les travaux de \textit{K. L. Chung} et \textit{P. Erdős} [Trans. Am. Math. Soc. 72, 179-186 (1952; Zbl 0046.352)] et \textit{K. L. Chung} et \textit{G. A. Hunt} [Ann. Math., II. Ser. 50, 385-400 (1949; Zbl 0032.417)] respectivement. Alors si l'on definit les deux integrals \(I_ 1(f_ 1)\) et \(I_ 2(f_ 2)\) comme dans ces travaux, ils montrent que lorsque l'une de ces integrales est infinie il existe alors une suite croissante de variables aléatoires \(\{T_ i\}\), que tend vers l'infini telle que \(R(T_ i,a_{T_ i})=\sqrt{T_ i}f_ 2(T_ i)\) pour \(i=1,2,3,...\). D'autre part si les deux intégrales sont finies avec probabilité un l'inegalité contraire est verifiée à partir d'un \(T_ 0\) aléatoire. Dans la deuxième partie les auteurs utilisent un résultat dû à \textit{A. N. Borodin} [Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova 119, 19-38 (1982; Zbl 0491.60082)] sur la transformée de Laplace de \(L^*(t)=\sup_{x}L(x,t)\), pour obtenir un développement en série de la distribution de \(L^*(1)\). À partir de ce résultat ils obtienent un Théorème de même nature que celui de la première partie mais avec la fonction u(t) positive noncroissante avec \(\lim_{t\to \infty}u(t)=0\) et \(u(t)t^{1/2}\) nondecroissante et \(\lim_{t\to \infty}u(t)t^{1/2}=\infty\) les résultats de même type qu'auparavant sont fondés sur la convergence ou divergence de \[ I=\int^{\infty}_{1}(tu(t))^{-1}\exp (-2j^ 2_ 1u(t)^{-2}dt \] où \(j_ 1\) est le premier zero de la fonction de Bessel \(J_ 0(x)\).
scientific article; zbMATH DE number 3965139