How small are the increments of the local time of a Wiener process?
type: Item
instance of: scholarly article
title: How small are the increments of the local time of a Wiener process?
zbMATH Open document ID: 0598.60083
published in: The Annals of Probability
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: Les auteurs considerent le comportement asymptotique des acroissements du temps local L(x,t) du processus de Wiener W(t). Le travail est divisé en deux parties, dans la premiere ils étudient les acroissements petits de \(L(t)=L(0,t)\). Si \(a_ T\) est une fonction de T nondecroissante avec \(0<a_ T\leq T\) et \(a_ T/T\) est noncroissante, ils definissent \[ R(T,a_ T)=\inf (L(t)-L(t-a_ T));\quad a_ T\leq t\leq T. \] Soient alors \(f_ 1\) et \(f_ 2\) deux fonctions vérifiant les conditions établies dans les travaux de \textit{K. L. Chung} et \textit{P. Erdős} [Trans. Am. Math. Soc. 72, 179-186 (1952; Zbl 0046.352)] et \textit{K. L. Chung} et \textit{G. A. Hunt} [Ann. Math., II. Ser. 50, 385-400 (1949; Zbl 0032.417)] respectivement. Alors si l'on definit les deux integrals \(I_ 1(f_ 1)\) et \(I_ 2(f_ 2)\) comme dans ces travaux, ils montrent que lorsque l'une de ces integrales est infinie il existe alors une suite croissante de variables aléatoires \(\{T_ i\}\), que tend vers l'infini telle que \(R(T_ i,a_{T_ i})=\sqrt{T_ i}f_ 2(T_ i)\) pour \(i=1,2,3,...\). D'autre part si les deux intégrales sont finies avec probabilité un l'inegalité contraire est verifiée à partir d'un \(T_ 0\) aléatoire. Dans la deuxième partie les auteurs utilisent un résultat dû à \textit{A. N. Borodin} [Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova 119, 19-38 (1982; Zbl 0491.60082)] sur la transformée de Laplace de \(L^*(t)=\sup_{x}L(x,t)\), pour obtenir un développement en série de la distribution de \(L^*(1)\). À partir de ce résultat ils obtienent un Théorème de même nature que celui de la première partie mais avec la fonction u(t) positive noncroissante avec \(\lim_{t\to \infty}u(t)=0\) et \(u(t)t^{1/2}\) nondecroissante et \(\lim_{t\to \infty}u(t)t^{1/2}=\infty\) les résultats de même type qu'auparavant sont fondés sur la convergence ou divergence de \[ I=\int^{\infty}_{1}(tu(t))^{-1}\exp (-2j^ 2_ 1u(t)^{-2}dt \] où \(j_ 1\) est le premier zero de la fonction de Bessel \(J_ 0(x)\).
Mathematics Subject Classification ID: 60J55
Mathematics Subject Classification ID: 60J65
Mathematics Subject Classification ID: 60G17
Mathematics Subject Classification ID: 60G57
zbMATH DE Number: 3965139
zbMATH Keywords: local time
zbMATH Keywords: small increments of Brownian local time
zbMATH Keywords: integral tests
author: Endre Csáki
author: Antónia Földes
reviewed by: José R. León
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1214/aop/1176992529
OpenAlex ID: W4230779214
DOI: 10.1214/AOP/1176992529
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description: scientific article; zbMATH DE number 3965139