On the asymptotic solutions for a weakly coupled elliptic boundary value problem with a small parameter
In einem Gebiet \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ n\), \(n\geq 2\), werden Randwertprobleme des Typs \[ (1)\quad \epsilon^ 2\Delta u- f(u,v)=0,\quad x\in \Omega;\quad \Delta v-g(u,v)=0,\quad x\in \Omega;\quad u=\alpha (x,\epsilon),\quad v=\beta (x,\epsilon),\quad x\in \partial \Omega \] untersucht, wobei \(\epsilon\), \(0<\epsilon \ll 1\), ein Parameter ist, und wobei vorausgesetzt wird, daß das reduzierte Problem \[ (2)\quad f(u_ 0,v_ 0)=0,\quad x\in \Omega;\quad \Delta v_ 0-g(u_ 0,v_ 0)=0,\quad x\in \Omega;\quad v_ 0=\beta (x,0),\quad x\in \partial \Omega \] eine reguläre Lösung besitzt. (Für \(n=1\) wurde das Problem (1) von Fife und Ito untersucht). Unter Verwendung von Grenzschichtmethoden zeigt der Autor für genügend kleine \(\epsilon\) die Existenz einer Lösung von (1), die nach der Lösung \((u_ 0,v_ 0)\) von (2) konvergiert.
scientific article; zbMATH DE number 3969152