Lefschetz fixed point theorem for intersection homology
Es sei X eine kompakte orientierbare n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Für eine stetige Selbstabbildung \(f: X\to X\) liefert der klassische Fixpunktsatz von Lefschetz eine notwendige algebraisch- topologische Bedingung für die Existenz von Fixpunkten: Ist \(\Delta\) die Diagonale von \(X\times X\) und G(f) der Graph von f in \(X\times X\), so gilt \[ \sum^{n}_{i=0}(-1)^ i\quad Spur H_ i(f)=[G(f)]\cap [\Delta], \] wobei [ ] die zugehörigen rationalen Homologieklassen in \(H_ n(X\times X, {\mathbb{Q}})\) bezeichnet und \(.\cap. : H_ n(X\times X, {\mathbb{Q}})\times H_ n(X\times X, {\mathbb{Q}})\to {\mathbb{Q}}\) das Schnittprodukt. Letzteres ist wohldefiniert, da \(X\times X\) keine Singularitäten aufweist. Die Konstruktion der Schnitthomologie durch die Verff. liefert nun ein solches Schnittprodukt für die allgemeine Klasse von Pseudomannigfaltigkeiten, die insbesondere die reindimensionalen komplexen Räume enthält. Intention bei dieser Entwicklung war der Wunsch, für die obige Klasse von Räumen eine Homologietheorie zur Verfügung zu haben, in der viele Aussagen der algebraischen Topologie auf Mannigfaltigkeiten ihre Gültigkeit behalten. Unter diesem Aspekt ist auch die vorliegende Arbeit zu sehen, in der die Autoren den Lefschetzschen Fixpunktsatz auf die Schnitthomologie bezgl. der mittleren Toleranz \({\mathfrak m}\) (perversity) übertragen. Dabei ergeben sich zwei Probleme. Zum einen induziert nicht jede Selbstabbildung f von X eine Abbildung in der Schnitthomologie; man muß sich deshalb auf ''harmlose'' Abbildungen (placid maps) beschränken; dies sind Abbildungen f, für die X eine Stratifikation besitzt, so daß codim \(f^{-1}(S)\geq co\dim S\) gilt für jedes Stratum S. Zum anderen brauchen die Zykel G(f) und \(\Delta\) in \(X\times X\) im allgemeinen nicht \({\mathfrak m}\)-zulässig zu sein, sondern nur \({\mathfrak q}\)-zulässig für eine strata-abhängige Toleranz \({\mathfrak q}\leq {\mathfrak m}\). Ist also X ein Wittraum, so gilt \(I_{{\mathfrak q}}H(X\times X)\cong I_{{\mathfrak m}}H(X\times X)\), und G(f) und \(\Delta\) sind daher noch homolog zu geeigneten \({\mathfrak m}\)-zulässigen Zyklen. Unter diesen Voraussetzungen nun läßt sich die ursprüngliche, sehr geometrische Argumentation von Lefschetz auch in der Schnitthomologie nachvollziehen, wobei eine nähere Untersuchung der lokalen Geometrie des Produktraumes \(X\times X\) notwendig ist. Falls f nur isolierte Fixpunkte \(x_{\nu}\) besitzt, ergibt sich die Schnittzahl [G(f)]\(\cap [\Delta]\) wie im Mannigfaltigkeitsfall als Summe von Einzelbeiträgen jedes der Punkte \(x_{\nu}\), den sogenannten ''linking numbers''. Diese lassen sich unter geeigneten Voraussetzungen \((x_{\nu}\) non-expanding fixed point) deuten als lokale Spur \[ \sum^{n}_{i=0}(-1)^ i\quad Spur (f^*_{i,x_{\nu}}), \] wobei \(f^*_{i,x_{\nu}}: {\mathcal I}{\mathcal H}_{i,x_{\nu}}\to {\mathcal I}{\mathcal H}_{i,x_{\nu}}\) die induzierte Abbildung zwischen den Halmen der Schnitthomologiegarbe in \(x_{\nu}\) bezeichnet. Schließlich wird in einem Ausblick am Schluß der Arbeit skizziert, wie sich der Lefschetzsche Fixpunktsatz weiter verallgemeinern läßt, nämlich falls (i) f ersetzt wird durch eine ''Korrespondenz'' \(C\subset X\times X\) oder (ii) beliebige Toleranzen \({\mathfrak p}\) betrachtet werden. Es bleibt noch zu erwähnen, daß bereits recht allgemeine, garbentheoretische Versionen von Fixpunktsätzen, etwa von Verdier, existieren; die Absicht der Autoren in diesem Artikel war es, eine möglichst explizite, einfach handhabbare Aussage herzuleiten.
intersection homology in the middle perversity
scientific article; zbMATH DE number 3971757