Lefschetz fixed point theorem for intersection homology
type: Item
instance of: scholarly article
title: Lefschetz fixed point theorem for intersection homology
zbMATH Open document ID: 0602.55003
DOI: 10.1007/BF02567421
author: M. Goresky
author: Robert MacPherson
published in: Commentarii Mathematici Helvetici
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/140020
review text: Es sei X eine kompakte orientierbare n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Für eine stetige Selbstabbildung \(f: X\to X\) liefert der klassische Fixpunktsatz von Lefschetz eine notwendige algebraisch- topologische Bedingung für die Existenz von Fixpunkten: Ist \(\Delta\) die Diagonale von \(X\times X\) und G(f) der Graph von f in \(X\times X\), so gilt \[ \sum^{n}_{i=0}(-1)^ i\quad Spur H_ i(f)=[G(f)]\cap [\Delta], \] wobei [ ] die zugehörigen rationalen Homologieklassen in \(H_ n(X\times X, {\mathbb{Q}})\) bezeichnet und \(.\cap. : H_ n(X\times X, {\mathbb{Q}})\times H_ n(X\times X, {\mathbb{Q}})\to {\mathbb{Q}}\) das Schnittprodukt. Letzteres ist wohldefiniert, da \(X\times X\) keine Singularitäten aufweist. Die Konstruktion der Schnitthomologie durch die Verff. liefert nun ein solches Schnittprodukt für die allgemeine Klasse von Pseudomannigfaltigkeiten, die insbesondere die reindimensionalen komplexen Räume enthält. Intention bei dieser Entwicklung war der Wunsch, für die obige Klasse von Räumen eine Homologietheorie zur Verfügung zu haben, in der viele Aussagen der algebraischen Topologie auf Mannigfaltigkeiten ihre Gültigkeit behalten. Unter diesem Aspekt ist auch die vorliegende Arbeit zu sehen, in der die Autoren den Lefschetzschen Fixpunktsatz auf die Schnitthomologie bezgl. der mittleren Toleranz \({\mathfrak m}\) (perversity) übertragen. Dabei ergeben sich zwei Probleme. Zum einen induziert nicht jede Selbstabbildung f von X eine Abbildung in der Schnitthomologie; man muß sich deshalb auf ''harmlose'' Abbildungen (placid maps) beschränken; dies sind Abbildungen f, für die X eine Stratifikation besitzt, so daß codim \(f^{-1}(S)\geq co\dim S\) gilt für jedes Stratum S. Zum anderen brauchen die Zykel G(f) und \(\Delta\) in \(X\times X\) im allgemeinen nicht \({\mathfrak m}\)-zulässig zu sein, sondern nur \({\mathfrak q}\)-zulässig für eine strata-abhängige Toleranz \({\mathfrak q}\leq {\mathfrak m}\). Ist also X ein Wittraum, so gilt \(I_{{\mathfrak …
Mathematics Subject Classification ID: 55M20
Mathematics Subject Classification ID: 32S60
Mathematics Subject Classification ID: 55N35
Mathematics Subject Classification ID: 57P05
zbMATH DE Number: 3971757
zbMATH Keywords: stratified maps
zbMATH Keywords: multivalued maps
zbMATH Keywords: correspondences
zbMATH Keywords: pseudo manifolds
zbMATH Keywords: complex spaces
zbMATH Keywords: Lefschetz fixed point theorem
zbMATH Keywords: intersection homology in the middle perversity
zbMATH Keywords: placid maps
zbMATH Keywords: linking numbers
zbMATH Keywords: non-expanding fixed point
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 3971757