Logarithmic de Rham complexes and vanishing theorems
type: Item
instance of: scholarly article
title: Logarithmic de Rham complexes and vanishing theorems
zbMATH Open document ID: 0603.32006
DOI: 10.1007/BF01391499
author: Hélène Esnault
author: Eckart Viehweg
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/143391
review text: Verschwindungssätze für Cohomologieklassen (z. B. von lokal freien Garben \({\mathcal M})\) in algebraischer und komplex analytischer Geometrie betreffen ein unerschöpflich weites Feld vorhandener und noch zu erzielender Resultate: gewissermaßen ein anspruchsvolles mathematisches Standardprogramm. Die vorliegende Arbeit erzielt eine Reihe von Verschwindungssätzen für gewisse lokal freie Garben \({\mathcal M}\) auf gewissen (stets kompakten) algebraischen oder komplex analytischen Mannigfaltigkeiten. Die Resultate umfassen von einem einheitlichen Rahmen her (und lassen von hier her neu verstehen) unterschiedliche Satzfälle aus der Literatur wie z. B.: Verschwindungssätze von Kodaira-Nakano, von Bogomolov-Sommese, von Grauert-Riemenschneider. Bemerkenswert is die hier entwickelte Beweistechnik: Die anderen Orts manchmal verwendeten differentialgeometrischen \(C^{\infty}\)-Techniken (covariante \(C^{\infty}\)-Ableitungen) werden hier ersetzt durch rein algebraische/komplexanalytische Techniken, so durch gewisse covariante holomorphe Ableitungen in lokal-freien Garben \({\mathcal M}\) auf (hier kompakten) Mannigfaltigkeiten \({\mathcal X}\). Dabei müssen allerdings ''Pole'' entlang von ''schönen'' Ausnahmevarietäten \({\mathcal D}\subset {\mathcal X}\) zugelassen werden. In diesem Rahmen verfügt man über die von P. Deligne entwickelte Theorie der logarithmischen covarianten Ableitungen zu einer lokalfreien Garbe \({\mathcal M}\) auf \({\mathcal X}:\nabla: {\mathcal M}\to \Omega^{1}_{x}({\mathcal D})\otimes {\mathcal M}\). \(\nabla\) operiert jetzt auch auf \(\Omega^{*}_{x}({\mathcal D})\times {\mathcal M}\) und macht diesen zu einem Komplex. In diesem hat man als lokal freien Teil \(V:=Ker\nabla | U\), mit \(U:={\mathcal X}\setminus {\mathcal D}\). Verschwindungssätze betreffen nun Garben vom Typ V, \({\mathcal M}\) und \(\Omega^{p}_{x}({\mathcal D})\otimes {\mathcal M}\), entweder als Aussagen über U ({\S} 2) oder über Einschränkungsabbildungen von ''\({\mathcal X}\) a…
Mathematics Subject Classification ID: 32Q99
Mathematics Subject Classification ID: 32C35
Mathematics Subject Classification ID: 32L10
Mathematics Subject Classification ID: 32L20
Mathematics Subject Classification ID: 14F05
zbMATH DE Number: 3973301
zbMATH Keywords: logarithmic de Rham complex
zbMATH Keywords: vanishing theorems
zbMATH Keywords: Deligne theory of mixed Hodge structures
zbMATH Keywords: Moishežon manifold
zbMATH Keywords: local free sheaves
zbMATH Keywords: cohomology
zbMATH Keywords: holomorphic covariant derivations with poles
MaRDI profile type: Publication
cites work: Complex Analytic Connections in Fibre Bundles
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OpenAlex ID: W2091527820
description: scientific article; zbMATH DE number 3973301