Combinatorial squashings, 3-manifolds, and the third homology of groups
type: Item
instance of: scholarly article
title: Combinatorial squashings, 3-manifolds, and the third homology of groups
zbMATH Open document ID: 0604.57001
DOI: 10.1007/BF01388735
author: Allan J. Sieradski
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/143336
review text: Bekanntlich lassen sich 3-Mannigfaltigkeiten konstruieren, indem man auf der Oberfläche \(S^ 2\) einer 3-Kugel \(B^ 3\) Flächenstücke paarweise identifiziert. Diese Konstruktion kann man (nach Definition geeigneter kombinatorischer CW-Strukturen) auf allgemeinere Quotientierungen \((B^ 3,S^ 2)\to (K^ 3,K^ 2)\) von Paaren verschieden orientierter Flächenstücke auf \(S^ 2\) übertragen. Die Identifikationsabbildung (''squashing map'') liegt im Kern des Hurewiczhomomorphismus \(\pi_ 2(K^ 2)\to H_ 2(K^ 2)\). Von ihr läßt sich eine spezielle Identität von \(\pi_ 1(K^ 2)\) ablesen, welche in vielen Fällen ein erzeugendes Element von \(H_ 3(\pi_ 1(K^ 2))\) definiert. Mit diesem Ansatz werden die Untersuchungen des Autors fortgeführt, Peifferelementen Verschlingungen zuzuordnen und Elemente der Gruppenhomologie geometrisch zu deuten. Insbesondere aber wird aus einem Heegarddiagramm (über sogenannte ''highwigh''-Systeme) eine Verschlingung in \(S^ 3\) konstruiert, von welcher der Autor hofft(e), daß sie Einsichten für das Poincaré-Problem ergibt. Die Arbeit enthält viele schöne Beispiele (u.a. eine Serie von Homologie-3-Sphären mit dem Dodekaederraum als Start) und ist eine wertvolle Anregung für grundlegende Fragen der 3-dimensionalen Topologie.
Mathematics Subject Classification ID: 57M05
Mathematics Subject Classification ID: 57N10
Mathematics Subject Classification ID: 20J05
Mathematics Subject Classification ID: 57M20
Mathematics Subject Classification ID: 57M25
zbMATH DE Number: 3975879
zbMATH Keywords: identities among relations in a group presentation
zbMATH Keywords: combinatorial squashings of cell complexes on the 2-sphere
zbMATH Keywords: closed orientable 3- manifolds
zbMATH Keywords: third integral homology of groups
zbMATH Keywords: Hurewicz homomorphism
zbMATH Keywords: Peiffer identities
MaRDI profile type: Publication
cites work: Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups
cites work: Framed links for Peiffer identities
cites work: A combinatorial interpretation of the third integral homology of a group
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cites work: On simple systems of paths on complete pretzels
OpenAlex ID: W1973866568
description: scientific article; zbMATH DE number 3975879