Wann sind die Grunskyschen Koeffizientenbedingungen hinreichend für Q- quasikonforme Fortsetzbarkeit ? (Under which conditions are the Grunsky coefficients Q-quasiconformal extendable ?)
Für w(z)\(\in \Sigma (Q)\) (Q-quasikonform fortsetzbare Abbildungen der Klasse \(\Sigma)\) gelten bekanntlich für alle Systeme komplexer Zahlen \(x_ k\) die verschärften Grunskyschen Koeffizientenbedingungen \[ (*)\quad | \sum^{n}_{k,\ell =1}a_{k\ell}x_ kx_{\ell}| \leq q\sum^{n}_{k=1}| x_ k|^ 2/k\quad mit\quad q=(Q- 1)/(Q+1) \] für die aus w(z) abgeleiteten Grunsky-Koeffizienten \(a_{k\ell}\) als notwendige Bedingungen [Ref., Math. Nachr. 48, 77-105 (1971; Zbl 0226.30021)]. Daß diese jedoch nicht bei w(z)\(\in \Sigma\) hinreichend sind für die Existenz einer Q-quasikonformen Fortsetzung wurde an einem Beispiel vom Ref., Ann. Acad. Sci., Fenn., Ser. A 6, 125- 130 (1981; Zbl 0454.30016) gezeigt. [Daß (*) tatsächlich für die Existenz irgendeiner quasikonformen Fortsetzung hinreichend ist, zeigte \textit{Ch. Pommerenke}, Univalent functions (1975; Zbl 0298.30014).] In der vorliegenden Arbeit wird nun allgemein für noch auf dem Rande analytische Abbildungen w(z) geklärt, wann (*) hinreichend für Q- quasikonforme Fortsetzbarkeit ist. Das ist nämlich genau dann der Fall, wenn für die möglichst konforme Fortsetzung das beschreibende quadratische Differential [nach \textit{K. Strebel}, J. Anal. Math. 30, 464- 480 (1976; Zbl 0334.30013)] ein vollständiges Quadrat ist. Beim Beweis spielt die Theorie der Fredholmschen Eigenwerte eine wesentliche Rolle. Da dieses Kriterium ziemlich implizit ist, wird noch ein mehr explizit nachprüfbares Kriterium abgegeben, das allerdings nur in gewissen Fällen zur Entscheidung führt. Zusatzbemerkung. Inzwischen wurde die Problematik auch von \textit{S. L. Krushkal}', Sib. mat. Zh. 28, 138-145 (1987), ohne Randanalytizität von w(z) behandelt, mit zur Gänze anderer Methodik. Es sei noch vermerkt, daß es bis heute überhaupt keine zugleich notwendige und hinreichende Bedingung zur Zugehörigkeit zur Klasse \(\Sigma\) (Q) gibt.
scientific article; zbMATH DE number 3977367