Growth functions on Fuchsian groups and the Euler characteristic
Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und \(\Sigma\) ein endliches Erzeugendensystem für G. Dann bestimmt \(\Sigma\) eine Norm für G, die Wort-Norm, welche definiert ist durch die minimale Länge \(| g|\) von \(g\in G\) als Wort in \(\Sigma\). Unter der Wachstumsreihe g(z) verstehen wir die Reihe \(g(z)=1+a_ 1z+...+a_ nz^ n+...\), wobei \(a_ n\) die Anzahl der Elemente von G mit Wort-Norm n ist. Wachstumsreihen und ihr asymptotisches Verhalten sind für verschiedene Gruppen intensiv untersucht worden, besonders für gewisse Gruppen mit Euler-Charakteristik (vgl. das Literaturverzeichnis). In der vorliegenden Arbeit untersuchen die Autoren die Wachstumsreihe für endlich erzeugte Fuchssche Gruppen. Sei nun G eine endlich erzeugte, diskrete Gruppe von Automorphismen der hyperbolischen Ebene \(IH^ 2\), und es habe \(IH^ 2/G\) endlichen Flächeninhalt. Sei \(\Sigma\) ein endliches Erzeugendensystem für G, welches geometrisch ist bezüglich des Dirichlet-Bereiches D und keine Elemente der Ordnung zwei enthält. Durch eine geometrisch rekursive Struktur \(\{t_ 1,...,t_ r\}\) lassen sich in Termen von D eine \(r\times r\)-Matrix A, eine \(1\times r\)-Matrix \b{w} und eine \(r\times 1\)-Matrix \b{v} bestimmen. Die Wachstumsreihe für G bezüglich \(\Sigma\) ist dann eine MacLaurin-Reihe der rationalen Funktion \[ f(z)=\chi (G)^{-1}+(1-z)(2\chi (G))^{- 1}\underline w(I-zA)^{-1}\underline v, \] wobei \(\chi\) (G) die Euler- Charakteristik von G ist. Es ist also insbesondere \(f(1)=(\chi (G))^{- 1}\) falls I-A invertierbar ist. Man kann nun fragen, inwieweit auch \(f(1)=(\chi (G))^{-1}\) gilt, falls I-A nicht invertierbar ist. Diese Frage wird an einigen Beispielen erläutert. Dabei beschreiben die Autoren ein Beispiel, für das I-A nicht invertierbar und \(f(1)\neq (\chi (G))^{-1}\) ist.
scientific article; zbMATH DE number 3983487
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