Locally Archimedian right-ordered groups and locally invariant valuation rings
type: Item
instance of: scholarly article
title: Locally Archimedian right-ordered groups and locally invariant valuation rings
zbMATH Open document ID: 0609.16002
DOI: 10.1016/0021-8693(87)90197-9
published in: Journal of Algebra
publication date: 1987-01-01T00:00:00Z
review text: Die Verf. verallgemeinern den von \textit{J. Gräter} [Math. Z. 192, 183- 194 (1986; Zbl 0578.16007)] eingeführten Begriff des lokalinvarianten Bewertungsringes auf rechte Kettenringe (Ringe mit linear geordnetem Rechtsidealverband). Sie nennen einen rechten Kettenring R lokal archimedisch, wenn für jedes \(a\in R\) das Rechtsideal \(D(a)=\cap_ na^ nR\) zweiseitig ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, daß zwischen zwei Primidealen stets noch ein zweiseitiges Ideal liegt. Ist R sogar ein Kettenring ohne Nullteiler, so ist R genau dann lokal archimedisch, wenn R lokal invariant im Sinn von Gräter ist. Der Begriff lokal archimedisch wurde von \textit{P. F. Conrad} [Mich. Math. J. 6, 267-275 (1959; Zbl 0099.017)] für rechtsgeordnete Gruppen eingeführt. Der Zusammenhang wird durch folgenden Satz gegeben: G sei eine rechtsgeordnete Gruppe und \(P=\{a\in G|\) \(a\geq 1\}\), K ein Körper und R der schiefe Halbgruppenring von P über K bezülich eines Monomorphismus \(\sigma\) : \(P\to Aut K\) (d.h. die Vertauschungsregel \(ax=x^{\sigma (a)}a\) gilt für \(a\in P\), \(x\in K)\). Ist S eine Ore- Menge in R, so ist die Lokalisierung \(R_ S\) genau dann lokal archimedisch, wenn die Gruppe G lokal archimedisch ist.
Mathematics Subject Classification ID: 16L30
Mathematics Subject Classification ID: 13A18
Mathematics Subject Classification ID: 06F15
Mathematics Subject Classification ID: 16S34
Mathematics Subject Classification ID: 16Dxx
Mathematics Subject Classification ID: 16P50
zbMATH DE Number: 3985438
zbMATH Keywords: noncommutative valuation theory
zbMATH Keywords: valuation rings
zbMATH Keywords: chain rings
zbMATH Keywords: approximation theorem
zbMATH Keywords: locally invariant valuations
zbMATH Keywords: right chain rings
zbMATH Keywords: prime ideals
zbMATH Keywords: right ordered groups
author: Christine Bessenrodt
author: Günter Törner
reviewed by: Karl Mathiak
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0021-8693(87)90197-9
OpenAlex ID: W1973006438
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description: scientific article; zbMATH DE number 3985438