Intégrabilité locale des caractères du groupe GL(n,k) où k est un corps local de caractéristique positive. (Local integrability of the characters of the group GL(n,k), with k a local field of positive characteristic)
Soit G un groupe réductif sur un corps localement compact (non discret) F. Pour l'analyse harmonique sur le groupe localement compact G(F) il est d'extrême importance d'obtenir des renseignements sur les caractères des représentations admissibles irréductibles de G(F). Quand F est de caractéristique nulle, \textit{Harish-Chandra} a montré [voir ses oeuvres complètes (1984; Zbl 0546.01013)] que ces caractères sont des fonctions localement constantes sur l'ouvert \(G^{reg}(F)\) des éléments réguliers semisimples de G(F), qui sont de plus localement intégrables sur G(F). Dans certains cas, pour \(GL_ n\) en particulier, on peut même prouver des formules d'orthogonalité de caractères (\textit{Harish-Chandra}, non publie). L'article présent s'intéresse au cas où \(G=GL_ n\) et où le corps F est de caractéristique non nulle p. On ne peut plus alors, comme Harish-Chandra, utiliser l'exponentielle, qui est ici remplacée par l'application plus grossière \(x\mapsto 1+x\) de \(M_ n(F)\) vers \(M_ n(F)\), ce qui complique les arguments. L'A. montre ici que si \(\pi\) est une représentation admissible irréductible de \(GL_ n(F)\), son caractère \(\theta_{\pi}\) est intégrable au voisinage de tout élément possédant une décomposition de Jordan; en particulier, si \(n\leq p\), \(\theta_{\pi}\) est localement intégrable. De plus \(\theta_{\pi}\) est localement constant sur \(G^{reg}(F)\) (résultat aussi obtenu par Harish-Chandra), et les caractères \(\theta_{\pi}\) pour des représentations \(\pi\) non équivalentes entre elles, sont linéairement indépendants. Tous ces résultats devraíent s'étendre à un groupe réductif G quelconque.
scientific article; zbMATH DE number 3985528