Minimal surfaces in \({\mathbb{R}}^ 3\)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Minimal surfaces in \({\mathbb{R}}^ 3\)
zbMATH Open document ID: 0609.53001
published in: Lecture Notes in Mathematics
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: Anfang der 60er Jahre hat eine dritte goldene Periode in der Theorie der Minimalflächen begonnen, ausgelöst wurde diese Aktivität vor allem durch die Einführung neuer funktionentheoretischer Methoden in den Arbeiten von R. Osserman. Von besonderer Bedeutung ist die Beziehung zwischen den vollständigen Minimalflächen von endlicher Gesamtkrümmung und den kompakten Riemannschen Flächen. Auf dieser Grundlage konnten neue einfache Beispiele mit positivem Geschlecht konstruiert werden und im vorliegenden Buch findet man eine schöne Zusammenstellung und Ausarbeitung all dieser Beispiele: 1980 haben C. C. Chen und der Referent zwei Flächen vom Enneperschen Typ mit Geschlecht \(p=1\) und 2 kontruiert. 1982 hat C. J. Costa zwei weitere Beispiele mit \(p=1\) gefunden, eines ist überraschenderweise in den \({\mathbb{R}}^ 3\) eingebettet, wie D. Hoffman und H. W. Meeks III 1984 zeigen konnten. 1981 hat W. H. Meeks III eine Minimalfläche vom Typ des Möbiusbandes angegeben, weitere nichtorientierbare Flächen wurden 1984 von M. E. Oliveira gefunden [vgl. Proc. Am. Math. Soc. 98, 629-636 (1986; Zbl 0607.53003)]. Es wird auch der Satz von Xavier über die Ausnahmerichtungen des Normalvektors vorgestellt und die vollständige Fläche von Jorge und Xavier, die zwischen zwei parallelen Ebenen verläuft. Wir sehen den wichtigen Beitrag, den die brasilianische Schule der Differentialgeometrie zur Theorie der Minimalflächen geleistet hat. Auf Seite 38 wird aus \(\lim_{z\to p_ j}| \omega | =\infty\) gefolgert, daß \(\omega\) nur Polstellen besitzt. Hier müßte erwähnt werden, daß dazu ein umfangreicher Beweis nötig ist, siehe Lemma 9.6 in \textit{R. Osserman}'s Buch ''A survey of minimal surfaces'' (1969; Zbl 0209.529). Eine gewisse Rolle bei den Konstruktionen spielt die Gauß-Bonnet-Gleichung für Minimalflächen, \(C=2\pi (\chi -\sum^{N}_{j=1}k_ j)\), wobei \(k_ j\) die Ordnung des eigentlichen Kelches bei \(p_ j\) ist. Auf Seite 44 wird dazu nur die Arbeit von Jorge und Meeks aus dem Jahre 1980…
Mathematics Subject Classification ID: 53-02
Mathematics Subject Classification ID: 53A10
Mathematics Subject Classification ID: 53C42
Mathematics Subject Classification ID: 30F10
Mathematics Subject Classification ID: 30F30
zbMATH DE Number: 3986084
zbMATH Keywords: Weierstraß representation
zbMATH Keywords: minimal surface
zbMATH Keywords: total curvature
zbMATH Keywords: Gauß-Bonnet formula
zbMATH Keywords: Bernstein theorem
zbMATH Keywords: elliptic function
author: J. Lucas M. Barbosa
author: Antonio Gervasio Colares
reviewed by: Fritz Gackstatter
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bfb0077105
OpenAlex ID: W2495683217
DOI: 10.1007/BFB0077105
description: scientific article; zbMATH DE number 3986084