Minimal surfaces in \({\mathbb{R}}^ 3\)
Anfang der 60er Jahre hat eine dritte goldene Periode in der Theorie der Minimalflächen begonnen, ausgelöst wurde diese Aktivität vor allem durch die Einführung neuer funktionentheoretischer Methoden in den Arbeiten von R. Osserman. Von besonderer Bedeutung ist die Beziehung zwischen den vollständigen Minimalflächen von endlicher Gesamtkrümmung und den kompakten Riemannschen Flächen. Auf dieser Grundlage konnten neue einfache Beispiele mit positivem Geschlecht konstruiert werden und im vorliegenden Buch findet man eine schöne Zusammenstellung und Ausarbeitung all dieser Beispiele: 1980 haben C. C. Chen und der Referent zwei Flächen vom Enneperschen Typ mit Geschlecht \(p=1\) und 2 kontruiert. 1982 hat C. J. Costa zwei weitere Beispiele mit \(p=1\) gefunden, eines ist überraschenderweise in den \({\mathbb{R}}^ 3\) eingebettet, wie D. Hoffman und H. W. Meeks III 1984 zeigen konnten. 1981 hat W. H. Meeks III eine Minimalfläche vom Typ des Möbiusbandes angegeben, weitere nichtorientierbare Flächen wurden 1984 von M. E. Oliveira gefunden [vgl. Proc. Am. Math. Soc. 98, 629-636 (1986; Zbl 0607.53003)]. Es wird auch der Satz von Xavier über die Ausnahmerichtungen des Normalvektors vorgestellt und die vollständige Fläche von Jorge und Xavier, die zwischen zwei parallelen Ebenen verläuft. Wir sehen den wichtigen Beitrag, den die brasilianische Schule der Differentialgeometrie zur Theorie der Minimalflächen geleistet hat. Auf Seite 38 wird aus \(\lim_{z\to p_ j}| \omega | =\infty\) gefolgert, daß \(\omega\) nur Polstellen besitzt. Hier müßte erwähnt werden, daß dazu ein umfangreicher Beweis nötig ist, siehe Lemma 9.6 in \textit{R. Osserman}'s Buch ''A survey of minimal surfaces'' (1969; Zbl 0209.529). Eine gewisse Rolle bei den Konstruktionen spielt die Gauß-Bonnet-Gleichung für Minimalflächen, \(C=2\pi (\chi -\sum^{N}_{j=1}k_ j)\), wobei \(k_ j\) die Ordnung des eigentlichen Kelches bei \(p_ j\) ist. Auf Seite 44 wird dazu nur die Arbeit von Jorge und Meeks aus dem Jahre 1980 zitiert. Der Referent möchte darauf hinweisen, daß er diese Gleichung bereits 1974 hergeleitet hat, siehe Formel (4') in der Arbeit ''Über abelsche Minimalflächen'' [Math. Nachr. 74, 157-165 (1976; Zbl 0323.53003)], die im Literaturverzeichnis genannt ist. [Eine Parallelausgabe dieser Monographie ist nachstehend angezeigt.]
scientific article; zbMATH DE number 3986084