Zur Einzigkeit der Bricardschen Oktaeder. (Uniqueness of the Bricard octahedra)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zur Einzigkeit der Bricardschen Oktaeder. (Uniqueness of the Bricard octahedra)
zbMATH Open document ID: 0611.51011
DOI: 10.1007/BF01225926
author: Hellmuth Stachel
published in: Journal of Geometry
publication date: 1987-01-01T00:00:00Z
review text: Abgesehen von gewissen trivialen Fällen gibt es nach R. Bricard (1897) genau 3 Typen von beweglichen Oktaedern mit starren Seitendreiecken und veränderlichen Flächenwinkeln. Dieses Resultat wird auf neue Art hergeleitet hauptsächlich aus Eigenschaften gewisser Scharen von Flächen 2. Klasse und aus einer Umkehrung des Satzes von Ivory. Sind \((A_ 1,A_ 2)\), \((B_ 1,B_ 2)\) bzw. \((C_ 1,C_ 2)\) die 3 Paare von Gegenecken eines Bricardschen Oktaeders mit windschiefem Kantenvierseit \(B_ 1C_ 1B_ 2C_ 2\), so gibt es nach einem Korollar aus diesem Umkehrsatz zu jeder Deformation eine Quadrik \(\Psi\) durch dieses Kantenvierseit und gleichzeitig eine zu \(\Psi\) gleichartige konfokale (eventuell singuläre) Quadrik \(\Omega\) durch \(A_ 1\) und \(A_ 2\). Die affine Korrespondenz zwischen \(\Psi\) und \(\Omega\) vertauscht das Oktaeder \(A_ 1...C_ 2\) mit dem betreffenden deformierten unter Beibehaltung der Kantenlängen infolge des Satzes von Ivory. Damit wird zugleich eine einfache Beschreibung der Deformationsschar für jenen komplizierten 3. Typ Bricardscher Oktaeder möglich, für den Symmetrieüberlegungen versagen. Insbesondere werden platte Extremlagen und mögliche Verzweigungen des Deformationszwangslaufs sowie Kipp- und Wackeloktaeder mit einbezogen.
Mathematics Subject Classification ID: 51M05
Mathematics Subject Classification ID: 51N15
Mathematics Subject Classification ID: 51N20
Mathematics Subject Classification ID: 53A17
zbMATH DE Number: 3988107
zbMATH Keywords: Bricard octahedra
zbMATH Keywords: flexible octahedra
zbMATH Keywords: Ivory
reviewed by: Hermann Schaal
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5528400
cites work: The rigidity of suspensions
cites work: Über bewegliche Polyeder
cites work: Q5513532
cites work: Bemerkungen über zwei räumliche Trilaterationsprobleme
cites work: Starre, kippende, wackelige und bewegliche Achtflache
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01225926
OpenAlex ID: W2048828959
description: scientific article; zbMATH DE number 3988107