Q1088976
type: Item
instance of: scholarly article
title: Motive und Probleme der Arithmetisierung der Mathematik in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts -- Cauchys Analysis in der Sicht des Mathematikers Martin Ohm. (Motives and problems of the arithmetization of mathematics of the first half of the 19th century -- Cauchy's analysis seen by the mathematician Martin Ohm)
zbMATH Open document ID: 0618.01004
author: Hans Niels Jahnke
published in: Archive for History of Exact Sciences
publication date: 1987-01-01T00:00:00Z
review text: Kapitel 1 ist eine Fallstudie zu einem von S.-D. Poisson 1811 gefundenen Paradoxon. Bei \(y=(2 \cos x)^ m\) hatten Euler für spezielle m, Lagrange 1801 durch geeigneten Ansatz zur Differentialgleichung \(my \sin x+y'\cos x=0\) für reelle m Entwicklungen nach den cos(m-k)x, \(k=0,1,2,...\), angegeben. Poisson setzte \(x=\pi\) bei \(m=1/3\) und bemerkte, daß die Reihensumme verschieden ist von den drei möglichen Werten von (2 cos x)\({}^ m\). Die mehr als zwanzig Jahre währende Debatte, an der sich alle namhaften Analytiker beteiligten, ist von Burkhardt [Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften (1904-1916), pp. 837-857] besprochen worden. Mit ihm darf man annehmen, daß die Diskussion mit dazu beitrug, die Neubegründung der Analysis durch Cauchy ab 1821 zu veranlassen: Verbot divergenter Reihen, Beschränkung der Funktionen auf eindeutige, Stetigkeit als Grundbegriff, Beschränkung der Gleichheit \(f(x)=g(x)\) auf Wertgleichheit (Verf.: arithmetische Gleichheit, wohl zur Erläuterung des Terminus Arithmetisierung) und Zurückweisung der ''syntaktischen'' Gleichheit, bei der g(x) eine formale Entwicklung (Euler) von f(x) sein kann. In seiner Einleitung bezeichnet Verf. diese als die ''begrifflichen Probleme'' und erläutert das bei ihm häufige Wort ''Vielschichtigkeit'' damit, daß jene Probleme verknüpft waren ''mit allgemeineren Fragen danach, wie man algebraische Formeln zu interpretieren hat. Auch unterschiedliche Auffassungen darüber, was eine mathematische Theorie leisten solle, spielten eine Rolle''. Kapitel 2 befaßt sich mit Ohm und seinem System (ab 1822), insbesondere mit dessen hier als Verallgemeinerungen bezeichneten Auffassungen des Gleichheitsbegriffs. Ohm läßt formale (syntaktische) Gleichheiten zu, auch bei Reihenentwicklungen, will aber nur bei Konvergenz daraus auf Wertgleichungen schließen. Die binomische Formel faßt er als einen vieldeutigen algebraischen Ausdruck auf. Seine Behandlung des Poissonschen Paradoxons (1823) wird in Kapitel 3 dargestell…
reviewed by: Detlef Laugwitz
Mathematics Subject Classification ID: 01A55
Mathematics Subject Classification ID: 26-03
Mathematics Subject Classification ID: 01A70
zbMATH DE Number: 4002057
zbMATH Keywords: convergence
zbMATH Keywords: binomial series
zbMATH Keywords: Poisson
MaRDI profile type: Publication
label: Motive und Probleme der Arithmetisierung der Mathematik in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts -- Cauchys Analysis in der Sicht des Mathematikers Martin Ohm. (Motives and problems of the arithmetization of mathematics of the first half of the 19th century -- Cauchy's analysis seen by the mathematician Martin Ohm)
description: scientific article; zbMATH DE number 4002057