Représentations de Weil et \(GL_ 2\). Algèbres de division et \(GL_ n.\) (Vers les corps de classes galoisiens. I, II). (Weil representations and \(GL_ 2\). Division algebras and \(GL_ n\). (Towards Galois class fields. I, II))
Vers 1980, Deligne et Kazhdan ont démontré le théorème suivant. Soit F un corps local non archimédien et soit D un corps de centre F et de degré n sur F. Il existe une bijection \(\pi\) '\(\to \pi\) entre les classes d'isomorphie des représentations irréductibles de \(D^*\) et les classes d'isomorphie des représentations irréductibles de carré intégrable de GL(n,F) telle que les caractères vérifient le relation \(\chi_{\pi '}=(-1)^{n-1} \chi_{\pi}\) sur l'ensemble des classes régulières elliptiques. La démonstration repose sur une application de la formule des traces [voir: \textit{J. D. Rogawski}, Duke Math. J. 50, 161-196 (1983; Zbl 0523.22015), ou l'exposé de \textit{P. Deligne}, \textit{D. Kazhdan} et \textit{M.-F. Vignéras}, Représentations des groupes réductifs sur un corps local, 33-117 (1984; Zbl 0583.22009)]. Dans son livre, l'A. se sert de techniques tout à fait élémentaires et purement locales pour construire explicitement une application \(\pi\) '\(\to \pi\) satisfaisant à la relation entre les caractères. La construction est très compliquée et le livre est d'une lecture difficile. J'observe que, dans la démonstration de la surjectivité de l'application \(\pi\) '\(\to \pi\), l'A. utilise l'orthogonalité des caractères qui, en tant que je sache, n'est pas encore démontré en caractéristique \(\neq 0\). Le corollaire 1 (p. 182) n'est donc pas démontré dans ce livre. L'A. calcule aussi les facteurs-\(\epsilon\). Tout cedi se trouve dans le second des deux memoires dont le livre se compose. Le premier mémoire traite le cas \(n=2\) et fait le lien avec les représentations déduites des représentations de Weil. En particulier, l'A. détermine les représentations de \(D^*\) \((D=corps\) des quaternions) correspondant aux représentations exceptionnelles de GL(2,F).
scientific article; zbMATH DE number 4002222
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