Multiplications aléatoires et dimensions de Hausdorff. (Random multiplications and Hausdorff dimensions)
Soit \((T,d)\) un espace métrique compact, \((X,{\mathcal A},P)\) un espace de probabilité, et \(P_ n(t,x)\), \(n=1,2,...\), \(t\in T\), \(x\in X\), des fonctions telles que, pour presque tout x, les \(P_ n(\cdot,x)\) sont des fonctions boréliennes \(\geq 0\), pour tout t, les \(P_ n(t,\cdot)\) sont des variables aléatoires \(\geq 0\), \(EP_ n(t,\cdot)=1\), et les tribus engendrées par \(P_ n(t,\cdot)\) sont indépendantes. On pose \(Q_ n(t,x)=\prod^{n}_{m=1}P_ m(t,x).\) Pour toute mesure \(\sigma\) sur T et tout borélien B dans T, soit \(S_ n(B,x)=\int_{B}Q_ n(t,x)d\sigma (t)\). \((S_ n(B,\cdot))_{n=1,2,...}\) est une martingale positive qui converge p.s. vers une limite S(B). On peut interpréter S comme une mesure aléatoire. Soit Q l'opérateur \(Q\sigma =S\). On dit que Q tue \(\sigma\) si \(Q\sigma =0\), et que Q agit pleinement sur \(\sigma\) si \(ES(B)=\sigma (B)\) pour tout borélien B. L'auteur considère le cas particulier suivant. On fixe un entier \(c\geq 2\), et on choisit \(T=\{1,2,...,c\}^ N\) dont les éléments s'écrivent \(t=(t_ 0,t_ 1,...)\). La distance est \(d(t,s)=c^{-n}\) si \(t_ i=s_ i\) pour \(i<n\) et \(t_ n\neq s_ n\). On désigne par \(B_ n\) une boule quelconque de rayon \(c^{-n}\). On donne \(\alpha >0\) et une variable aléatoire W telle que \(P(W=c^{\alpha})=c^{-\alpha}\) et \(P(W=0)=1-c^{-\alpha}\), et on choisit \(P_ n\) constant sur chaque boule \(B_ n\) tel que ses \(c^ n\) valeurs soient des variables aléatoires indépendantes de même loi que W. Il établit le résultat suivant. Si \(0<\alpha <1\), Q tue toute mesure \(\sigma\) concentrée sur un borélien de mesure finie en dimension \(\alpha\) (au sens de Hausdorff), et Q agit pleinement sur toute mesure \(\sigma\) telle que \(\iint (d(t,s)^{-\alpha}d\sigma (t)d\sigma (s)<\infty\).
scientific article; zbMATH DE number 4005217