Side-effects of measure representations on axiom (D)
Soit \(\sigma\) une représentation par des mesures d'un espace harmonique (X,\({\mathcal H}^*)\) à base dénombrable, c'est-à-dire, pour chaque ouvert \(U\subset X\), un homomorphisme \(\sigma_ U\) du faisceau des différences locales de fonctions surharmoniques continues dans l'espace \({\mathcal M}(U)\) des mesures de Radon sur U, tel que \(\sigma_ U(f)\geq 0\Leftrightarrow\) f surharmonique. L'A. démontre les résultats suivants en supposant l'espace (X,\({\mathcal H}^*)\) fort et \(1\in {\mathcal H}^*_+:\) 1) L'axiome D est satisfait si et seulement si \(\sigma\) possède la propriété suivante: \(\forall\) p et p'\(\in {\mathcal P}_ b(X)\), \(p=p'\) sur un ouvert fin V \(\Rightarrow\sigma\) (p) et \(\sigma\) (p') coïncident sur V. 2) On suppose la représentation \(\sigma\) standard: \(\forall\) \(p\in {\mathcal P}(X)\) et \(\phi\in {\mathcal K}^+(X)\sigma (p)(\phi)={\bar \mu}(\phi \odot p)\), où \({\bar \mu}\) est une mesure de Radon \(>0\) donnée sur X et \(\odot\) la multiplication spécifique. L'axiome D est satisfait si et seulement si \(\int p d\sigma (p)\geq 0\forall p\in {\mathcal P}_ b(X)-{\mathcal P}_ b(X)\) (principe de l'énergie). 3) On suppose l'axiome de convergence de Doob et chaque point x a un voisinage ouvert \(V_ x\) tel que le plus petit ensemble absorbant contenant \(\complement V_ x\) est X. Alors, pour chaque ouvert U, \(\sigma_ U\) est continu de \(S^+(U)\), muni de la topologie \({\mathcal T}\) de Constantinescu-Cornea, dans \({\mathcal M}^+(U)\), muni de la topologie vague. Les démonstrations sont intéressantes et utilisent beaucoup de propriétés fines du potentiel.
scientific article; zbMATH DE number 4006643