Über Kennzeichnungen endlicher Gruppenräume. (On characterizations of finite group spaces)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über Kennzeichnungen endlicher Gruppenräume. (On characterizations of finite group spaces)
zbMATH Open document ID: 0629.51021
DOI: 10.1007/BF01200476
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1987-01-01T00:00:00Z
review text: Sei \({\mathcal R}=(x,<,>,F)\) ein \((LP)_ 0\)-Raum im Sinne vn \textit{J. Pfalzgraf} [J. Geom. 25, 147-163 (1985; Zbl 0581.51008)], \(q\in {\mathbb{N}}\) und \(x_ 0,x_ 1,...,x_ q,x_ 0',x_ 1'\in X\) mit \(<x_ 0,x_ 1>=<x_ 0',x_ 1'>\). Die Schließungsaussage \(Sim_ q(x_ 0,x_ 1,...,x_ q,x_ 0',x_ 1')\) besagt die Existenz von \(x_ 2',...,x_ q'\in X\) mit \(<x_ i,x_ j>=<x_ i',x_ j'>\) für i,j\(\in \{0,...,q\}\). Wir sagen, im Raum \({\mathcal R}\) gelte die q-Simplex-Aussage \(Sim_ q\), wenn \(Sim_ q(x_ 0,x_ 1,...,x_ q,x_ 0',x_ 1')\) für alle \(x_ 0,...,x_ q,x_ 0',x_ 1'\in X\) mit \(<x_ 0,x_ 1>=<x_ 0',x_ 1'>\) gilt. Die Aussagen \(Sim_ q(q\in {\mathbb{N}})\) bilden eine Folge von Schließungsaussagen, die insbesondere die Bedingungen von Veblen, Tamaschke und Desargues als Spezialfälle enthalten. So: In einem Desarguesschen affinen Raum gelten alle \(Sim_ q\). Ein Raum \({\mathcal R}\) mit \(Sim_ 2\) heißt schiefaffin. Ein Raum \({\mathcal R}\) heißt ein Gruppenraum, wenn durch Permutationsgruppen G auf X vermöge F als die Menge der Bahnen von G auf \(X^ 2\) (G operiert auf \(X^ 2\) auf natürliche Weise) und \(<x,y>\) als G(x,y) definiert sind. Der Autor erhält eine folgende geometrische Kennzeichnung: Ein endlicher \((LP)_ 0\)-Raum \({\mathcal R}\) ist genau dann Gruppenraum, wenn \(Sim_ q\) für alle \(q\in {\mathbb{N}}\) (es genügt sogar \(q\leq | X|)\) gilt. Ein endlicher \((LP)_ 0\)-Raum heißt taktisch, wenn alle seine (echten) Linien gleich viele Punkte besitzen. Diese gemeinsame Zahl ohne 1 heißt Ordnung des Raumes. Das folgende Theorem wird bewiesen: Ein taktischer schiefaffiner Raum einer Ordnung \(\geq 3\), der nichttriviale Unterräume enthält, ist genau dann ein Gruppenraum, wenn er sich echt in einen ebensolchen Raum einbetten läßt.
Mathematics Subject Classification ID: 51E30
Mathematics Subject Classification ID: 20B25
Mathematics Subject Classification ID: 05B25
zbMATH DE Number: 4024154
zbMATH Keywords: skew affine space
zbMATH Keywords: finite group spaces
zbMATH Keywords: tactical space
zbMATH Keywords: closure conditions
author: Johannes André
MaRDI profile type: Publication
cites work: Über geometrische Strukturen, die zu Permutationsgruppen gehören
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cites work: On a model for non commutative geometric spaces
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cites work: Zur algebraischen Darstellung fastaffiner Räume
cites work: Q5512231
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01200476
OpenAlex ID: W2912236671
description: scientific article; zbMATH DE number 4024154