Extremal problems for quasiconformal mappings in space
Nach H. Grötzsch ist die möglichst konforme eckpunkttreue Abbildung zweier Rechtecke aufeinander affin und eindeutig bestimmt. Das überträgt sich durch anschließende konforme Abbildung auf kompliziertere Situationen, was vornehmlich durch O. Teichmüller weiterentwickelt wurde. Vom Ref. [Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle- Wittenberg, Math.-Naturw. R. 11, 729-732 (1962; Zbl 0142.333)] wurde gezeigt, daß die Unitätsaussage bei analoger räumlicher Abbildung zweier Quader aufeinander im allgemeinen nicht gilt für die üblicherweise betrachtete lineare Dilatation, sowie für innere und äußere Dilatationen. Diese Dilatationen erscheinen dadurch wenig geeignet für solche Fragestellungen. Hier wird nun diese Unitätsaussage tatsächlich bewiesen für die sogenannte Spurdilatation. (Das Entsprechende war schon kürzlich auch für die sogenannte Earle-Ahlfors-Dilatation gezeigt worden, falls letztere hinreichend klein ist: \textit{S. Agard} und \textit{R. Fehlmann} [Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I 11, 87-110 (1986; Zbl 0535.30019)].) Es werden noch einige Verallgemeinerungen (im Sinne der Theorie von Teichmüller-Strebel-Reich im ebenen Analogon) und Modifizierungen der Aufgabe (z.B. Quasikonformität im Mittel) betrachtet. Diese bemerkenswerten Untersuchungen werden sicher die Theorie der Extremalprobleme bei räumlichen quasikonformen Abbildungen sehr beleben.
scientific article; zbMATH DE number 4025783
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