Quelques résultats de transcendance liés à l'invariant modulaire j. (Some transcendence results related to the modular invariant j)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Quelques résultats de transcendance liés à l'invariant modulaire j. (Some transcendence results related to the modular invariant j)
zbMATH Open document ID: 0633.10035
DOI: 10.1016/0022-314X(87)90024-2
author: Alain Faisant
author: Georges Philibert
published in: Journal of Number Theory
publication date: 1987-01-01T00:00:00Z
review text: La dépendance en \(\tau\) des fonctions elliptiques et modulaires est étudiée en détail par les auteurs. Les résultats obtenus leur permettent de démontrer des mesures de transcendance où seules les constantes absolues ne sont pas explicitées, ainsi que de nouvelles mesures d'approximation simultanée. Ainsi, si \(\tau\) est dans le demi- plan de Poincaré et \(\alpha\), \(\beta\) sont deux nombres algébriques tels que \(j(\alpha)\neq \beta\) alors \[ | \tau -\alpha | +| j(\tau)-\beta | >C^{-d^ 3(\ln d+h(\alpha)+h(\beta))^ 3} \] où C est une constante absolue, \(d=[{\mathbb{Q}}(\alpha,\beta):{\mathbb{Q}}]\) et h désigne la hauteur de Weil. Des versions plus faibles de ce résultat existaient déjà dans certains cas dans les travaux de \textit{W. D. Brownawell} et \textit{D. W. Masser} [J. Reine Angew. Math. 314, 200-216 (1980; Zbl 0417.10027)] et \textit{D. W. Masser} [Elliptic functions and transcendence (Lect. Notes Math. 437) (1975; Zbl 0312.10023)]. Les auteurs étudient pour commencer l'algorithme permettant de se ramener au cas où \(\tau\) est dans le domaine fondamental usuel \({\mathcal D}\). Ensuite, le cas où \(\tau\) est quadratique est traité élémentairement; dans les autres cas on se ramène à supposer que j(\(\tau)\) est algébrique (le cas où il est nul est délicat à cause de la multiplicité du zéro en i ou \(\rho)\) et on fait une démonstration de transcendance. Cette démonstration est construite sur un schéma classique mais utilise, outre les inégalités sur la variation en \(\tau\), de nombreuses astuces techniques permettant d'affiner le résultat final: division des coefficients de la fonction auxiliaire, procédé de Baker-Coates-Anderson, utilisation d'une fonction sigma ``tordue'' comme dénominateur des fonctions elliptiques, etc... Le même procédé fournit aux auteurs des mesures de transcendance explicites en \(\tau\) des nombres \(\pi/\omega\), \(\eta/\omega\), et \(\zeta(u)-(\eta/\omega)u\) en suivant les notations classiques, lorsque j(\(\tau)\) est …
Mathematics Subject Classification ID: 11J81
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 11F03
zbMATH DE Number: 4029687
zbMATH Keywords: transcendence measure
zbMATH Keywords: algebraic independence
zbMATH Keywords: modular function
zbMATH Keywords: modular invariant
zbMATH Keywords: elliptic functions
zbMATH Keywords: measures of simultaneous approximation
zbMATH Keywords: Dedekind eta-function
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5521594
cites work: Multiplicity estimates for analytic functions. I.
cites work: Über die Berechnung der Fourierkoeffizienten der Funktion j().
cites work: Q4075566
cites work: Transcendance de périodes d'intégrales elliptiques.
cites work: On the coefficients of transformation polynomials for the modular function
cites work: Elliptic functions and transcendence
cites work: Linear forms in two logarithms and Schneider's method
cites work: Approximation algébrique de nombres lies aux fonctions elliptiques et exponentielle
cites work: Approximation de nombres liés à la fonction sigma de Weierstrass
cites work: Propriétés d'indépendance algébrique de nombres liés aux fonctions de Weierstrass
cites work: Q3278401
cites work: Q4154652
cites work: Q4168680
cites work: Q3864596
description: scientific article; zbMATH DE number 4029687