Complete spline smoothing
Vorgegeben seien natürliche Zahlen n, m, reelle Zahlen \(x_ 1,...,x_ n\) (mit \(x_ 1<...<x_ n)\), \(S^ 1_ L,...,S_ L^{m-1}\), \(S^ 1_ R,...,S_ R^{m-1}\) sowie positive relle Zahlen \(w,w_ 1,...,w_ n\), \(w_ 1^ L,...,w^ L_{m-1}\), \(w^ R_ 1,...,w^ R_{m-1}\). Die Minimierung von \[ I(f):=\int^{x_ n}_{x_ 1}(f^{(m)}(t))^ 2dt+w\sum^{n}_{i=1}\{w_ i[f(x_ i)-z_ i]^ 2 \] \[ +\sum^{m- 1}_{i=1}w^ L_ i[f^{(i)}(x_ 1)-S^ i_ L]^ 2+\sum^{m- 1}_{i=1}w^ R_ i[f^{(i)}(x_ n)-S^ i_ R]^ 2\} \] auf eine geeigneten Funktionenraum führt auf eine Polynom-Spline \(s_ w\) der Ordnung 2m (vom Grad 2m-1), den sogenannten Complete Smoothing Spline. Zur Berechnung von \(s_ w\) wird eine B-Spline-Basis benutzt; die Koeffizienten ergeben sich dann aus einem linearen Gleichungssystem, dessen Matrix Bandstruktur besitzt. Weiter kann man auf iterativem Wege w so festlegen, daß für \(s_ w\) der Ausdruck in \(\{\)...\(\}\) unter einer vorgegebenen Toleranzschranke bleibt. Neben der Behandlung dieser univarianten Problemstellung wird ein analoges bivariates Problem untersucht und ein entsprechendes Lösungsverfahren angegeben; dabei wird von einem Rechteckgitter ausgegangen, und es werden Tensorprodukt-B- Splines verwendet.
scientific article; zbMATH DE number 4030812
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