Bifurcation in \(L^ p({\mathbb{R}})\) for a semilinear equation
Etant données une constante \(\sigma >0\) et une fonction continue \(q: {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) telle que \(0<A\leq q(x)\leq B<\infty\) pour \(x\in {\mathbb{R}}\), l'auteur s'intéresse aux bifurcations possibles des solutions faibles \((\lambda,u)\in {\mathbb{R}}\times H^ 1({\mathbb{R}})\) de l'équation différentielle \(u''(x)+\lambda u(x)+q(x)| u(x)|^{\sigma}u(x)=0\) pour \(x\in {\mathbb{R}}\) (dans le sens que \(<u',\phi '>=<\lambda n+q| u|^{\sigma}u,\phi >\) pour \(\phi \in H^ 1(R))\) à partir de la droite de solutions formées des couples (\(\lambda\),0). A partir d'estimations a priori établies pour les solutions de l'équation, l'auteur montre que, sous certaines hypothèses sur la fonction q et sur le paramètre \(p\in [1,\infty]\), il y a possibilité (ou non) de \(L^ p\)-bifurcation en un point (\(\lambda\),0) dans le sens qu'il existe une suite \(((\lambda_ i,u_ i))_ i\) de solutions faibles avec \(\lambda_ i\to \lambda\) et \(0\neq \| u_ i\|_ p\to 0\) quand \(i\to \infty\).
scientific article; zbMATH DE number 4034158