Elliptic systems with nonlinearity q greater or equal to two. Regularity of the solution of the Dirichlet problem
Es sei \(u: \Omega\to {\mathbb{R}}^ N\) eine Lösung des Dirichlet-Problems \[ (1)\quad Eu=\sum^{n}_{i=1}D_ ia^ i(x,Du)=\sum^{n}_{i=1}D_ iF^ i\quad (x\in \Omega),\quad u-g\in H_ 0^{1,q}(\Omega). \] Dabei ist \(\Omega\) eine beschränkte offene Menge im \({\mathbb{R}}^ n\) (n\(\geq 2)\) der Klasse \(C^ 2\). Ferner ist \(N>1\), \(q\geq 2\), und \(a^ i\), g sowie \(F^ i\) sind \({\mathbb{R}}^ N\)- vektorwertige Funktionen. Der Differentialoperator Eu ist stark elliptisch, d.h. es gelten für \(x\in \Omega\), \(p\in {\mathbb{R}}^{nN}\) und \(\xi \in {\mathbb{R}}^{nN}\) Abschätzungen der Form \[ (2)\quad \{\sum_{i,j}\| A_{ij}(x,p)\|^ 2\}^{1/2}\leq MV^{q-2}(p) \] und \[ (3)\quad \sum_{ij}(A_{ij}(x,p)\xi^ j| \xi^ i)\geq \nu V^{q-2}(p)\| \xi \|^ 2 \] mit positiven Konstanten \(\nu\) und M. Dabei ist \(A_{ij}=\{A^{hk}_{ij}\}\), \(A^{hk}_{ij}(x,p)=(\partial a^ i_ h(x,p)/\partial p^ j_ k)\), \(a^ i(x,0)=0\) in \(\Omega\) und \(V(p)=(1+\| p\|^ 2)^{1/2}\). Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Frage nach der Regularität der Lösung u in den Funktionenräumen \({\mathcal L}^{q,\mu}(\Omega)\) und verallgemeinert dabei die Ergebnisse einer früheren Arbeit des Verfassers (Adv. Math., erscheint demnächst) auf den Fall \(q>2\). Als Anwendung dieser Resultate ergibt sich die Hölderstetigkeit der Lösung u in \(\Omega\) bzw. in \({\bar \Omega}\) unter der Bedingung \(n\leq q+2\) und geeigneten Regularitätsvoraussetzungen an die Funktionen g und \(F^ i\).
scientific article; zbMATH DE number 4034220