An inverse problem for an elliptic partial differential equation
Für die elliptische Differentialgleichung \(\Delta u-a(x)u=0\) werden Anfangs- und Randbedingungen gestellt. Gesucht sind \(a=a(x)\) und \(u=u(x,y)\) in \(x>0\), \(y>0\). Hierfür wird ein Eindeutigkeitssatz gegeben und die Existenz und stetige Abhängigkeit von den Daten wird für genügend kleines x bewiesen. Wenn a priori bekannt ist, daß a(x)\(\geq 0\) ist, dann können Aussagen im großen gemacht werden. Im Beweis treten die Laplace-Transformation, Lösungen eines hyperbolischen Goursat-Problems und eine Transformation nach Gelfand und Levitan auf. Diese führen auf eine nichtlineare Volterra Integragleichung zweiter Art für \(a=a(x)\), welche die gestellten Eindeutigkeits- und Existenzfragen übernimmt. Deren Integraloperator kann als Kontraktion behandelt werden.
Volterra integral equation of second kind
scientific article; zbMATH DE number 4040452