C-uniform distribution on compact metric spaces
type: Item
instance of: scholarly article
title: C-uniform distribution on compact metric spaces
zbMATH Open document ID: 0639.10034
DOI: 10.1016/0022-247X(88)90249-1
author: Michael Drmota
author: Robert F. Tichy
published in: Journal of Mathematical Analysis and Applications
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
review text: Die Arbeit vereinfacht und verallgemeinert weitgehend ein vom Rezensenten erhaltenes Resultat über C-gleichverteilte Funktionen und ergänzt es in topologischer Hinsicht. Der k-dimensionale Torus \({\mathbb{R}}\) k/\({\mathbb{Z}}^ k \)wird mengenmäßig mit [0,1[ k identifiziert, \(\lambda_ k\) sei das k- dimensionale Lebesguemaß, \(\chi_{[0,x[}\) die charakteristische Funktion des k-dimensionalen Intervalls \([0,x[=[0,x_ 1[\times... \times [0,x_ k[.\) Die Diskrepanz einer stetigen Funktion \(\omega\) : \({\mathbb{R}}_ 0\) \(+\to {\mathbb{R}}\) k/\({\mathbb{Z}}^ k \)ist für \(T>0\) durch \[ D\quad *_ T(\omega)=\sup_{x\in [0,1]\quad k}| (1/T)\cdot \int^{T}_{0}\chi_{[0,x[\quad}(\omega (t))dt-\lambda_ k([0,x[)| \] erklärt und erfüllt bei \(k\geq 2\) die Ungleichung \(D\quad *_ T(\omega)\geq c_ k\cdot (1/s(T))^{k/(k-1)},\) worin \(c_ k\) eine nur von k abhängige Konstante ist und s(T) die Länge der Kurve \(\omega\) (t) für \(0\leq t\leq T\) bezeichnet. Dieses Resultat wird auf kompakte, bogenweise zusammenhängende metrische Räume mit Hilfe einer außerordentlichen Vereinfachung des Beweises übertragen. Außerdem zeigen die Autoren, daß die durch \(D\) \(*_ T(\omega)=o(1)\) (T\(\to \infty)\) gekennzeichneten C-gleichverteilten Funktionen in der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz eine magere Menge bilden.
Mathematics Subject Classification ID: 11K06
Mathematics Subject Classification ID: 54E45
zbMATH DE Number: 4042023
zbMATH Keywords: C-uniform distribution
zbMATH Keywords: compact arcwise connected metric space
zbMATH Keywords: Borel measure
zbMATH Keywords: continuous function
zbMATH Keywords: discrepancy
MaRDI profile type: Publication
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full work available at URL: 0022-247x(88)90249-1
OpenAlex ID: W2063824312
description: scientific article; zbMATH DE number 4042023