C-uniform distribution on compact metric spaces
Die Arbeit vereinfacht und verallgemeinert weitgehend ein vom Rezensenten erhaltenes Resultat über C-gleichverteilte Funktionen und ergänzt es in topologischer Hinsicht. Der k-dimensionale Torus \({\mathbb{R}}\) k/\({\mathbb{Z}}^ k \)wird mengenmäßig mit [0,1[ k identifiziert, \(\lambda_ k\) sei das k- dimensionale Lebesguemaß, \(\chi_{[0,x[}\) die charakteristische Funktion des k-dimensionalen Intervalls \([0,x[=[0,x_ 1[\times... \times [0,x_ k[.\) Die Diskrepanz einer stetigen Funktion \(\omega\) : \({\mathbb{R}}_ 0\) \(+\to {\mathbb{R}}\) k/\({\mathbb{Z}}^ k \)ist für \(T>0\) durch \[ D\quad *_ T(\omega)=\sup_{x\in [0,1]\quad k}| (1/T)\cdot \int^{T}_{0}\chi_{[0,x[\quad}(\omega (t))dt-\lambda_ k([0,x[)| \] erklärt und erfüllt bei \(k\geq 2\) die Ungleichung \(D\quad *_ T(\omega)\geq c_ k\cdot (1/s(T))^{k/(k-1)},\) worin \(c_ k\) eine nur von k abhängige Konstante ist und s(T) die Länge der Kurve \(\omega\) (t) für \(0\leq t\leq T\) bezeichnet. Dieses Resultat wird auf kompakte, bogenweise zusammenhängende metrische Räume mit Hilfe einer außerordentlichen Vereinfachung des Beweises übertragen. Außerdem zeigen die Autoren, daß die durch \(D\) \(*_ T(\omega)=o(1)\) (T\(\to \infty)\) gekennzeichneten C-gleichverteilten Funktionen in der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz eine magere Menge bilden.
scientific article; zbMATH DE number 4042023