Limit theorem for the Riemann zeta-function on the critical line. I
Es sei \(\Phi (x)=(2\pi)^{-1/2}\int^{x}_{-\infty}e^{-u^ 2/2}\, du\), \(G(x)=\Phi (\ln x)\), \(x>0\); \(G(x)=0\), \(x\leq 0\) und für \(T>e\) \[ F_ T(x)=T^{-1} \text{mes}\{t\in [0,T],\quad | \zeta (1/2+it)|^{u(T)}<x\} \] mit \(u(T)=(2^{-1} \ln \ln T)^{-1/2}\). Dabei bezeichnet \(\text{mes}\{a\}\) das Lebesguemaß einer meßbaren Menge \(a\). Ferner sei für \(\kappa >0\) \[ I_{\kappa}(\sigma,T)=\int^{T}_{0}| \zeta (\sigma +it)|^{2\kappa}\, dt. \] Der Verf. beweist unter der Annahme der Gültigkeit der Riemannschen Vermutung die folgenden Grenzwertsätze. Satz 1: \(\lim_{T\to \infty}F_ T(x)=G(x)\). Satz 2: Für \(T\to \infty\) gilt gleichmäßig für \(k\in [k_ T,k_ 0]\), \(k_ T=(\ln T)^{- 1/4}, \kappa =([k^{-1}(2 \ln \ln T)^{1/2}]\pm~5)^{-1}\) bei festem \(k_ 0>0\) \[ I_{\kappa}(1/2,T)=T(\ln T)^{\kappa^ 2}(1+O((\ln \ln T)^{-1/4})). \] Dabei ist \([u]\) die größte ganze Zahl \(\leq u.\) Zum Beweis benutzt der Verf. die Momentenmethode von \textit{D. R. Heath- Brown} [J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 24, No. 1, 65--78 (1981; Zbl 0431.10024)] und einige Ergebnisse aus seiner Arbeit [Mat. Zametki 39, No. 4, 483--493 (1986; Zbl 0603.10038)]. Dabei wird die Gültigkeit der Riemannschen Vermutung nur zur oberen Abschätzung der \(I_{\kappa}(\sigma,T)\) gebraucht. [Teil II, s. das folgende Referat (Zbl 0641.10032).]
scientific article; zbMATH DE number 4043944
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