Idéaux de polynômes et idéaux de valeurs. (Polynomial ideals and value ideals)
In dieser Arbeit setzt der Autor seine Untersuchungen über die (starke) Skolem- bzw. Hilberteigenschaft fort, indem er neue Charakterisierungen angibt, wodurch sich u.a. bekannte Ergebnisse unter zum Teil schwächeren Voraussetzungen wiedergewinnen lassen. Sei \(A\) ein noetherscher Integritätsbereich, \(K\) sein Quotientenkörper und \(B\) der Unterring des Polynomringes \(K[x]\), gegeben durch \(B=\{p(x)\in K[x]| p(A)\in A\}\). Für ein Ideal \(I\) von \(B\) und ein \(a\in A\) bezeichne \(I(A)\) das Werteideal von \(I\) bei \(a: I(a)=\{p(a)| p\in I\}\). B besitzt die Skolemeigenschaft falls für alle endlich erzeugten Ideale \(I\neq B\) ein \(a_ I\in A\) existiert mit \(I(a_ I)\neq A\); es hat die starke Skolemeigenschaft, falls für alle endlich erzeugten Ideale I gilt, daß mit \(q\in B\), \(q(a)\in I(a)\) für jedes \(a\) folgt \(q\in I\). Setzt man über I zusätzlich voraus, daß es unitär ist, d.h. \(I\cap A\neq \{0\}\) gilt, so erhält man die Hilbert- bzw. starke Hilberteigenschaft. Als Beispiel für die Charakterisierungen sei Theorem 4.3 genannt: Im Falle \(A\neq K\) besitzt \(B\) genau dann die Hilberteigenschaft, wenn (i) für jedes maximale Ideal \(M\) von \(A\) gilt: \(A/M\) ist algebraisch abgeschlossen, oder: M hat Höhe 1 und \(A/M\) ist endlich; und (ii) jedes Primideal \(P\) von \(A\), \(P\neq \{0\}\), Durchschnitt maximaler Ideale ist.
scientific article; zbMATH DE number 4049758
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