On the inverses of Toeplitz-plus-Hankel matrices
Für komplexe \(n\times n\)-Matrizen \(B=(b_{i,j})\) werden Gleichungen der Form \((*)\quad P(\lambda,\mu)\sum^{n-1}_{i,j=0}b_{i,j}\lambda \quad i\mu \quad j=\sum^{k}_{i=1}g_ i(\lambda)f\quad_ i(\mu)\) mit geeigneten Polynomen P, \(f_ i\), \(g_ i\) betrachtet. Gilt (*) mit \(P(\lambda,\mu)=\lambda -\mu\) und mit \(k=2\), so wird B eine Hankel- Bézout-Matrix (HB-Matrix) genannt. Im Fall \(g_ 2=-f_ 1\), \(g_ 1=f_ 2\) ist B eine gewöhnliche Hankel-Matrix. Gilt (*) mit \(P(\lambda,\mu)=1-\lambda \mu\) und mit \(k=2\), so wird B eine Toeplitz- Bézout-Matrix (TB-Matrix) genannt. Im Fall \(g_ 2(t)=-t\quad nf_ 1(t^{-1}),\quad g_ 1(t)=t\quad nf_ 2(t^{-1})\) ist B eine gewöhnliche Toeplitz-Matrix. Es gilt jedoch: Eine reguläre Matrix B ist genau dann eine HB-Matrix (TB-Matrix), wenn \(B^{-1}\) eine Hankel- (Toeplitz-) Matrix ist. Verff. nennen B eine \((T+H)\)-Matrix, wenn sich B als Summe einer Toeplitz- und einer Hankel-Matrix darstellen läßt, und ein \((T+H)\)-B-Matrix, wenn (*) mit \(P(\lambda,\mu)=(\lambda -\mu)(1- \lambda \mu)\) und mit \(k=4\) erfüllt ist. Es wird der analoge Satz bewiesen: Eine reguläre Matrix B is genau dann eine \((T+H)\)-B-Matrix, wenn \(B^{-1}\) eine \((T+H)\)-Matrix ist. Beim Beweis wird die Herleitung einer entsprechenden Inversionsformel einem allgemeineren Prinzip untergeordnet.
scientific article; zbMATH DE number 4053819