Conformal deformation to constant negative scalar curvature on noncompact Riemannian manifolds
type: Item
instance of: scholarly article
title: Conformal deformation to constant negative scalar curvature on noncompact Riemannian manifolds
zbMATH Open document ID: 0648.53021
author: Patricio Aviles
author: Robert McOwen
published in: Journal of Differential Geometry
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
review text: Dans cet article il s'agit de déterminer des conditions suffisantes pour qu'il existe, sur une variété Riemannienne complète noncompacte, une métrique conforme complète pour laquelle la courbure scalaire \(\tilde S(x)\) est égale partout à -1. L'équation (E) à resoudre est l'équation de Yamabe où l'on veut que la nouvelle courbure scalaire \(\tilde S\) soit égale à \(-1\). La méthode utilisée est celle des sur et sous-solutions. Les AA. montrent que (E) admet une solution \(C^{\infty}\) positive s'il existe une sous-solution de (E) nonnégative et continue, \(u\not\equiv 0\), \(u\in (H^ 2_ s)_{loc}.\) Si la courbure scalaire vérifie partout \(S(x)\leq -\epsilon <0\), on peut prendre comme sous-solution une constante petite d'où: Si la courbure scalaire S(x) est nonpositive et vérifie, en dehors d'un compact, S(x)\(\leq -\epsilon <0\), alors il existe une métrique conforme complète avec \(\tilde S=-1\). Même conclusion si au lieu de \(S(x) \leq -\epsilon <0\), on a seulement \(S(x) \leq -C[r(x)]^{-\ell}\), \(0<\ell <2\), \(r(x)\) étant la distance de x à un point donné et C une constante, mais alors il faut une hypothèse supplémentaire sur la courbure de Ricci. Enfin s'il existe une fonction \(C^{\alpha}\) à support compact qui rend la fonctionnelle de Yamabe négative, les AA. montrent que (E) admet une solution positive, mais pour que la nouvelle métrique soit complète, ils ont besoin d'être dans un des deux cas précédents.
Mathematics Subject Classification ID: 53C20
zbMATH DE Number: 4058340
zbMATH Keywords: constant scalar curvature
zbMATH Keywords: Yamabe problem
zbMATH Keywords: negative scalar curvature
reviewed by: Thierry Aubin
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.4310/jdg/1214441781
OpenAlex ID: W1569672467
Wikidata QID: Q115183980
DOI: 10.4310/JDG/1214441781
description: scientific article; zbMATH DE number 4058340