Stekloffsche Eigenwerte und konforme Abbildungen. (Stekloff eigenvalues and conformal mappings)
Ist G ein stückweis glatt berandetes Gebiet, dann ist das zugehörige Stekloffsche Eigenwertproblem definiert durch \[ \Delta u=0\quad in\quad G,\quad \partial u/\partial {\mathfrak u}=\lambda \cdot \rho (s)\cdot \mu \quad auf\quad \partial G, \] wobei \(\rho\) (s)\(\geq 0\) eine gegebene stückweis stetige Randfunktion der Bogenlänge s ist und \({\mathfrak u}\) die Außennormale. Vgl. \textit{C. Bandle} [Isoperimetric inequalities and applications (1980; Zbl 0436.35063)]. Es existieren hierzu Eigenwerte \(\lambda_ 1=0<\lambda_ 2\leq \lambda_ 3\leq... \). Ziel der Arbeit ist die Auffinding von Abschätzungen für \(\lambda_ 2\) und \(\lambda_ 2\lambda_ 3\) ``im Stile von Pólya-Szegö'' durch ein Extremalprinzip. Dabei wird verglichen mit rein geometrisch definierten Funktionalen von \(\partial G\), Trägheitsmoment und konformen Gebietsgrößen (transfiniter Durchmesser, virtuelle Masse der Hydrodynamik, Fredholmscher Eigenwert). Ferner wird ein Monotonieprinzip für \(\lambda_ 2\) beim Anwachsen der Gewichtsfunktion \(\rho\) (s) formuliert. Zahlreiche Beispiele dienen der Erläuterung.
scientific article; zbMATH DE number 4061601
scientific article