Fejér-Riesz inequalities for lower dimensional subspaces
Für holomorphe Funktionen auf dem abgeschlossenen Einheitskreis gilt folgende klassische Fejér-Riesz Ungleichung: \[ \int^{1}_{-1}| f(r)|^ pdr\quad \leq \quad \int^{2\pi}_{0}| f(e^{it})|^ pdt. \] Vorliegende Arbeit setzt die Untersuchungen [vgl. \textit{M. Hasumi} und der Autor, Tôhoku Math. J., II. Ser. 33, 493- 501 (1981; Zbl 0486.32003)] fort, diese Ungleichung in höheren Dimensionen zu verallgemeinern. Gezeigt wird, es gibt Konstanten \(C^ j_{k,n}\) \((j=1,2)\), so daß für Funktionen \(f\in H^ p(B_ n)\)- \(0<p<\infty\), \(B_ n\) die offene Einheitskugel des \({\mathbb{C}}^ n\)- folgende Ungleichung gilt: \[ \int_{B_ n\cap L^ j_{k,n}}| f(z)|^ p(1-| z|^ 2)^{n-k-1}dz\quad \leq \quad C^ j_{k,n}\| f\|^ p_ p, \] wobei \(L^ 1_{k,n}={\mathbb{R}}\times {\mathbb{C}}^ k\times \{0\}\subset {\mathbb{C}}^ n\) mit \(0\leq k\leq n-1\) bzw. \(L^ 2_{k,n}={\mathbb{C}}^ k\times \{0\}\subset {\mathbb{C}}^ n\) mit \(1\leq k\leq n-1\) gesetzt sei. Verifiziert wird, daß bei gegebenen n und k der Exponent n-k-1 optimal ist. Analoge Untersuchungen werden auch für den Siegel'schen Halbraum geführt.
scientific article; zbMATH DE number 4063493
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