Group-invariant analogues of Hadamard's inequality
Es sei \(H=(h_{i,j})\) eine Hermitesche \(n\times n\)-Matrix mit absteigend geordneten Eigenwerten \(\lambda_ i(H)\). Ferner sei G eine endliche Untergruppe der unitären Gruppe \(U_ n\). Für die H zugeordnete G- invariante Matrix \(H_ G=\sum \{gHg^*:\quad g\in G\}/Ord G\) gilt dann \(\sum^{m}_{i=1}\lambda_ i(H)\geq \sum^{m}_{i=1}\lambda_ i(H_ G)\) für \(m=1,...,n-1\) und mit dem Gleichheitszeichen für \(m=n\). Entsprechende Ungleichungen gelten für Schur-konvexe bzw. -konkave Funktionen der Eigenwerte. Z. B. ergibt das Produkt der Eigenwerte für positiv definites H die Ungleichung det \(H\leq \det H_ G\), und Spezialisierung von G führt auf die Hadamardsche Ungleichung det \(H\leq \prod h_{i,i}\). Ausführlich werden sechs Anwendungsbeispiele diskutiert. Abschließend wird auf nicht-lineare Verallgemeinerungen eingegangen.
inequality for fractions of the eigenvalues
scientific article; zbMATH DE number 4071112