Conformally flat manifolds, Kleinian groups and scalar curvature
type: Item
instance of: scholarly article
title: Conformally flat manifolds, Kleinian groups and scalar curvature
zbMATH Open document ID: 0658.53038
DOI: 10.1007/BF01393992
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/143558
review text: Les AA. étudient dans cet article les variétés \((M,g)\) complètes localement conformément plates de dimension \(n\geq 3\). Ils montrent qu'une large classe de ces variétés est formée de quotients d'un domaine simplement connexe de la sphère par un groupe de Klein. Soit \((M,g)\) donné, il existe une application \(\Phi\) de son revêtement universel riemannien \((\tilde M,\tilde g)\) dans \(S_ n\). \(\Phi\) est unique à un élément de \(C_ n\) près \((C_ n\) l'ensemble des transformations conformes de \(S_ n)\). \(\Phi\) détermine une représentation \(\rho\) de \(\Pi_ 1(M)\) dans \(C_ n.\) L'article consiste à trouver des conditions suffisantes pour que \(\Phi\) soit injective. Dans ce cas \(M\) s'identifie au quotient d'un domaine \(\Phi(\tilde M)\) de \(S_ n\) par un sous-groupe \(\rho [\Pi_ 1(M)]\) de \(C_ n\). C'est le cas lorsque \(n\geq 7\) si \(R(g)\), la courbure scalaire, vérifie \(R(g)\geq 0\). Cette même conclusion est obtenue sous quelques hypothèses supplémentaires pour les dimensions \(4,5,6\). Les AA. disent que le résultat s'étend à toute dimension \(n\geq 3\), sans hypothèse supplémentaire, en utilisant des résultats (non encore tous publiés) sur la fonction énergie de Schoen. Les AA. tirent des conséquences topologiques de leurs résultats, en particulier si \(R(g)\geq R_ 0>0\), \(\Pi_ i(M)=0\) pour \(i=1,2,\dots,[n/2].\) Pour leur démonstration, les AA. introduisent un invariant \(d(M)\). Ce nombre caractérise la puissance minimum d'intégrabilité d'une fonction de Green minimale sur \(\tilde M\) en dehors d'un voisinage de son pôle. Les fonctions de Green considérées sont celles de l'opérateur \(L=-{\tilde \Delta}+(n-2)[4(n-1)]^{-1}R(\tilde g).\) On a toujours \(d(M)\leq n\) et les AA. montrent que \(\Phi\) est injective lorsque \(d(M)<(n-2)^ 2/n\) si \(R(g)\geq Cte\) pour \(n\geq 5\), et si \(| R(g)| \leq Cte\) pour \(n=3\) et 4. D'autre part si \(R(g)\geq 0\), d(M)\(\leq n/2\) et si \(R(g)\geq R_ 0>0,\) \(d(M)\leq (n-2)/2.\) D'où \(\Phi\) est injec…
Mathematics Subject Classification ID: 53C20
Mathematics Subject Classification ID: 58J60
Mathematics Subject Classification ID: 30F40
Mathematics Subject Classification ID: 53C25
Mathematics Subject Classification ID: 57R19
zbMATH DE Number: 4075988
zbMATH Keywords: conformally flat
zbMATH Keywords: energy function
zbMATH Keywords: scalar curvature
zbMATH Keywords: Green function
author: Richard Schoen
author: Shing-Tung Yau
reviewed by: Thierry Aubin
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q4771226
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OpenAlex ID: W2012486996
description: scientific article; zbMATH DE number 4075988