Conformally flat manifolds, Kleinian groups and scalar curvature
Les AA. étudient dans cet article les variétés \((M,g)\) complètes localement conformément plates de dimension \(n\geq 3\). Ils montrent qu'une large classe de ces variétés est formée de quotients d'un domaine simplement connexe de la sphère par un groupe de Klein. Soit \((M,g)\) donné, il existe une application \(\Phi\) de son revêtement universel riemannien \((\tilde M,\tilde g)\) dans \(S_ n\). \(\Phi\) est unique à un élément de \(C_ n\) près \((C_ n\) l'ensemble des transformations conformes de \(S_ n)\). \(\Phi\) détermine une représentation \(\rho\) de \(\Pi_ 1(M)\) dans \(C_ n.\) L'article consiste à trouver des conditions suffisantes pour que \(\Phi\) soit injective. Dans ce cas \(M\) s'identifie au quotient d'un domaine \(\Phi(\tilde M)\) de \(S_ n\) par un sous-groupe \(\rho [\Pi_ 1(M)]\) de \(C_ n\). C'est le cas lorsque \(n\geq 7\) si \(R(g)\), la courbure scalaire, vérifie \(R(g)\geq 0\). Cette même conclusion est obtenue sous quelques hypothèses supplémentaires pour les dimensions \(4,5,6\). Les AA. disent que le résultat s'étend à toute dimension \(n\geq 3\), sans hypothèse supplémentaire, en utilisant des résultats (non encore tous publiés) sur la fonction énergie de Schoen. Les AA. tirent des conséquences topologiques de leurs résultats, en particulier si \(R(g)\geq R_ 0>0\), \(\Pi_ i(M)=0\) pour \(i=1,2,\dots,[n/2].\) Pour leur démonstration, les AA. introduisent un invariant \(d(M)\). Ce nombre caractérise la puissance minimum d'intégrabilité d'une fonction de Green minimale sur \(\tilde M\) en dehors d'un voisinage de son pôle. Les fonctions de Green considérées sont celles de l'opérateur \(L=-{\tilde \Delta}+(n-2)[4(n-1)]^{-1}R(\tilde g).\) On a toujours \(d(M)\leq n\) et les AA. montrent que \(\Phi\) est injective lorsque \(d(M)<(n-2)^ 2/n\) si \(R(g)\geq Cte\) pour \(n\geq 5\), et si \(| R(g)| \leq Cte\) pour \(n=3\) et 4. D'autre part si \(R(g)\geq 0\), d(M)\(\leq n/2\) et si \(R(g)\geq R_ 0>0,\) \(d(M)\leq (n-2)/2.\) D'où \(\Phi\) est injective lorsque \(n\geq 7\) si \(R(g)\geq 0\) et lorsque \(n=5\) ou 6 si \(R(g)\geq R_ 0>0.\) Dans tout cet article une erreur se répète. Lorsqu'on fait une transformation conforme de la métrique \(g'=u^{4/(n-2)}g,\) on a \(G'(P,Q)=G(P,Q)[u(P)u(Q)]^{-1}\) et non pas l'expression considérée dans l'article \(G'(P,Q)=[u(P)]^{(n+2)/(n-2)}G(P,Q)/u(Q),\) qui est manifestement fausse puisqu'elle n'est pas symétrique en \(P\) et \(Q\).
scientific article; zbMATH DE number 4075988
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