A new variational method for finding Einstein metrics on compact Kähler manifolds. I
type: Item
instance of: scholarly article
title: A new variational method for finding Einstein metrics on compact Kähler manifolds. I
zbMATH Open document ID: 0658.53063
DOI: 10.1016/0022-1236(88)90032-8
published in: Journal of Functional Analysis
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
review text: Les AA. décrivent un principe variationnel nouveau pour trouver des métriques d'Einstein-Kähler sur une variété kählerienne compacte \(X_{2m}\). Ils exposent tout d'abord les calculs de base qui traduisent le problème en analyse: résoudre l'équation \[ (E)\quad \det (\delta^{\mu}_{\lambda}+\nabla^{\mu}_{\lambda}\phi)=\exp (- \epsilon \phi +f) \] avec \(\epsilon =-1,0,+1\) suivant le signe de la première classe de Chern \(C_ 1(X)\). Cette équation a été résolue principalement par T. Aubin et S. T. Yau en utilisant la méthode de continuité. Ici les AA. définissent une fonctionnelle J(\(\phi)\) dont l'équation d'Euler est (E). Cette fonctionnelle se prolonge en une fonction réelle \(C^{\infty}\) sur l'espace de Sobolev \(W_{2,m}\). Ses points critiques \(C^ 2\) sont les solutions de (E). Les AA. étudient J sous des contraintes naturelles qui dépendent du signe de \(C_ 1(X)\) (borne inférieure finie, convexité, semi continuité inférieure). Ils exhibent une suite minimisante qui converge faiblement dans \(W_{1,2}(X)\) vers \({\bar \phi}\). Ils conjecturent que \({\bar \phi}\in W_{2,m}(X)\) et est un point critique de J. \({\bar \phi}\) est alors bornée. Les AA. comptent poursuivre leurs recherches dans cette direction.
Mathematics Subject Classification ID: 53C55
Mathematics Subject Classification ID: 58E11
zbMATH DE Number: 4076013
zbMATH Keywords: Kähler-Einstein metrics
zbMATH Keywords: Chern class
zbMATH Keywords: complex Monge-Ampere equation
author: M. S. Berger
author: Pascal Cherrier
reviewed by: Thierry Aubin
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0022-1236(88)90032-8
OpenAlex ID: W2076907828
cites work: Q3657016
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description: scientific article; zbMATH DE number 4076013