A new variational method for finding Einstein metrics on compact Kähler manifolds. I
Les AA. décrivent un principe variationnel nouveau pour trouver des métriques d'Einstein-Kähler sur une variété kählerienne compacte \(X_{2m}\). Ils exposent tout d'abord les calculs de base qui traduisent le problème en analyse: résoudre l'équation \[ (E)\quad \det (\delta^{\mu}_{\lambda}+\nabla^{\mu}_{\lambda}\phi)=\exp (- \epsilon \phi +f) \] avec \(\epsilon =-1,0,+1\) suivant le signe de la première classe de Chern \(C_ 1(X)\). Cette équation a été résolue principalement par T. Aubin et S. T. Yau en utilisant la méthode de continuité. Ici les AA. définissent une fonctionnelle J(\(\phi)\) dont l'équation d'Euler est (E). Cette fonctionnelle se prolonge en une fonction réelle \(C^{\infty}\) sur l'espace de Sobolev \(W_{2,m}\). Ses points critiques \(C^ 2\) sont les solutions de (E). Les AA. étudient J sous des contraintes naturelles qui dépendent du signe de \(C_ 1(X)\) (borne inférieure finie, convexité, semi continuité inférieure). Ils exhibent une suite minimisante qui converge faiblement dans \(W_{1,2}(X)\) vers \({\bar \phi}\). Ils conjecturent que \({\bar \phi}\in W_{2,m}(X)\) et est un point critique de J. \({\bar \phi}\) est alors bornée. Les AA. comptent poursuivre leurs recherches dans cette direction.
scientific article; zbMATH DE number 4076013
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