Strong solutions of stationary equations in abstract kinetic theory
In der vorliegenden Arbeit wird das Randwertproblem \[ (T\psi)'(x)=-A\psi (x),\quad 0<x<\infty,\quad Q_+\psi (0)=\phi_+,\quad \limsup_{x\to \infty}\| \psi (x)\|_ H<+\infty \] in einem komplexen Hilbertraum H untersucht. Hierbei ist T ein injektiver, selbstadjungierter Operator, der nicht beschränkt zu sein braucht, \(Q_+\) die orthogonale Projektion auf den maximalen T-positiven, T-invarianten Unterraum von H, A eine positive, kompakte Störung der Identität \(\mathbf{1}\) und \(\phi_+\) ein vorgegebenes Element aus dem Bildbereich der Einschränkung von \(Q_+\) auf den Definitionsbereich von \(T(\phi_+\in Q_+[D(T)]).\) Zuerst wird der Spezialfall behandelt, daß der Operator A strikt positiv ist. Unter der ``Regularitätsvoraussetzung'', daß der Bildbereich des kompakten Operators \(\mathbf{1}-A\) für ein \(\alpha\in (0,1)\) und ein \(\omega >\max \{(1+\alpha /2,(2-\alpha)/2\}\) enthalten ist sowohl im Bildbereich von \(| T|^{\alpha}\), als auch im Definitionsbereich von \(| T|^{1+\omega}\), wird die eindeutige Lösbarkeit des Problems bewiesen, wobei die Lösung recht explizit beschrieben werden kann. Der allgemeine Fall, daß A zwar positiv, aber nicht notwendig strikt positiv ist, wird dann durch eine geschickte direkte Zerlegung des Hilbertraums auf den anfangs behandelten Spezialfall zurückgeführt. Die oben zitierte ``Regularitätsvoraussetzung'' muß dazu allerdings etwas verschärft werden. Naturgemaß geht im allgemeinen Fall die Eindeutigkeitsaussage für die Lösung verloren. Es bleibt aber die Existenz und die recht explizite Darstellung der Lösungen erhalten. Letztere schließt einen genauen Überblick über die Anzahl der Lösungen ein. Durch zwei höchst relevante Beispiele aus der Gasdynamik weisen die Verfasser am Ende der Arbeit nach, daß ihre Ergebnisse hervorragend an die Bedürfnisse der Anwendungen angepaßt sind.
strong solutions of stationary equations
generalized differential equation in Hilbert space
scientific article; zbMATH DE number 4078089