On certain p-harmonic functions in the plane
type: Item
instance of: scholarly article
title: On certain p-harmonic functions in the plane
zbMATH Open document ID: 0661.31016
DOI: 10.1007/BF01153584
author: Gunnar Aronsson
published in: Manuscripta Mathematica
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/155304
review text: Lösungen \(\phi\) (x,y) der Gleichung \[ (| \nabla \phi |^{p- 2}\phi_ x)_ x+(| \nabla \phi |^{p-2}\phi_ y)_ y=0,\quad 1<p<\infty, \] werden p-harmonische Funktionen genannt. Wie im klassischen, linearen Fall \(p=2\), werden Funktionen \(\phi\) (x,y), \(\psi\) (x,y) bzw. p- und p'-harmonisch, \(1/p+1/p'=1,\) für welche \(| \nabla \phi |^{p-2}\phi_ x=\psi_ y\), \(| \nabla \phi |^{p- 2}\phi_ y=-\psi_ x\), konjugiert heißen. Eine besondere Klasse solcher Funktionenpaare wird vom Verf. betrachtet, welche die Paare \(Re(x+iy)^{\alpha}\), \(Im(x+iy)^{\alpha}\), \(\alpha >0\) des Falles \(p=2\) auf den Fall \(p\neq 2\) ausdehnen. Sie sind durch Benutzung von Polarkoordinaten in einem Sektor der xy-Ebene definiert. Die p- harmonischen Funktionen \(\phi\) (x,y) werden dann durch die Variablentransformation \(u=\phi_ x\), \(v=\psi_ y\), \(u+iv=ge^{i\theta}\) in neue Funktionen \(\phi\) (q,\(\theta)\) verwandelt, die mit den konjugierten \(\psi\) (q,\(\theta)\) der Gleichungen \(\psi_ q=q^{p-2}\phi_{\theta}\), \(\psi_{\theta}=(q^{p-1}/(1-p))\phi_ q\) verbunden sind. Bei Variablentrennung erhält man dann eine Folge von speziellen Lösungen, mit deren Hilfe das Paar \(\phi\), \(\psi\) durch Reihenentwicklungen dargestellt werden kann.
Mathematics Subject Classification ID: 31C05
Mathematics Subject Classification ID: 31A30
Mathematics Subject Classification ID: 35J60
zbMATH DE Number: 4079852
zbMATH Keywords: hodograph method
zbMATH Keywords: p-harmonic
zbMATH Keywords: p-Laplace equation
zbMATH Keywords: quasi-radial solutions
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 4079852