The centers of generic division algebras with involution
Sei \(R\) der Ring von \(k\) generischen \((n,n)\)-Matrizen über dem Körper \(F\) (d.h. sei \(S=F[x_{ij}^{(r)}\), \(1\leq i,j\leq n\), \(1\leq r\leq k]\) der Polynomring in \(k\cdot n^ 2\) kommutativen Variablen und \(R=F[X_ 1,...,X_ k]\) die von den Matrizen \(X^{(r)}=(x_{ij}^{(r)})\), \(1\leq r\leq k\), in \(M_ n(S)\) erzeugte \(F\)-Algebra). Ist \(K\) der Quotientenkörper von \(S\), dann ist \(U=R\cdot K\subseteq M_ n(K)\) ein Schiefkörper, die generische oder universelle Divisionsalgebra. In \(M_ n(K)\) gibt es zwei Klassen von Involutionen, die Transposition \(T\) und die symplektische Involution \(S\) (für gerade \(n\)). Die Autoren betrachten \(R^ T=F[X_ r,X^ T_ r\), \(1\leq r\leq k]\) und \(R^ S=F[X_ r,X^ S_ r\), \(1\leq r\leq k]\) sowie ihre Quotientenringe \(U^ T\) und \(U^ S\). Dies sind die ``generischen zentral einfachen Algebren mit Involution''. Für \(n=2^ s\) sind \(U^ T\) und \(U^ S\) sogar Schiefkörper. Im 1. Teil bestimmen die Autoren Zerfällungskörper von \(U^ T\) und \(U^ S\). Im 2. Teil wird gezeigt, daß für die Zentren \(Z^ T\), \(Z^ S\), \(Z\) von \(U^ T\), \(U^ S\), \(U\) die Erweiterungen \(Z^ T| Z\) und \(Z^ S| Z\) generische Zerfällungskörper im Sinne Amitsurs sind [vgl. \textit{D. J. Saltman}, J. Algebra 62, 333--345 (1980; Zbl 0426.16007)]. Im 3. Teil der Arbeit wird noch eine andere interessante Variante generischer Algebren untersucht.
scientific article; zbMATH DE number 4081763
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