Strong summability and convergence of subsequences of orthogonal series
Es werden reelle Orthogonalreihen (1) \(\sum^{\infty}_{n=0}c_ n\phi_ n(x)\) mit \(\sum^{\infty}_{n=0}c^ 2_ n<\infty\) betrachtet; hierbei bedeutet \(\{\phi_ n(x)\}\) ein im Intervall \(<0,1>\) beliebiges orthonormales Funktionensystem. Für ein reguläres Summationsverfahren \(A=(a_{nk})\) werden die entsprechenden Mittel mit \(t_ n(x)=\sum^{\infty}_{k=0}a_{nk}s_ k(x)\) bezeichnet; hierbei sind \(s_ k(x)\) die Partialsummen der Reihe (1). Die Reihe (1) heißt A-summierbar, falls \(t_ n(x)\to f(x)\) fast überall im Intervall \(<0,1>\). gilt, und stark A-summierbar vom Grade \(\gamma >0\) \(([A]^{\gamma}\)-summierbar), falls für die starken Mittel die Beziehung \[ \tau_ n^{(\gamma)}(x)=\sum^{\infty}_{k=0}| a_{nk}| | s_ k(x)-f(x)|^{\gamma}\to 0 \] fast überall in \(<0,1>\) erfüllt ist; mit f(x) ist eine passende Funktion bezeichnet. Für ein reguläres Summationsverfahren \(A=(a_{nk})\) werden dann die Spaltenmajoraten \(\alpha_ k=\sup_{n}| a_{nk}|\) \((k=0,1,...)\) betrachtet und mit Hilfe dieser sind die folgenden Sätze bewiesen: Satz 1. Für ein gegebenes reguläres Summationsverfahren \(A=(a_{nk})\) und eine wachsende Folge \(\{n_ i\}\) natürlicher Zahlen sei (2) \(\sum^{n_{n+1}-1}_{k=n_ i+1}\alpha_ k\leq M\) \((i=0,1,...)\). Dann folgt aus der Konvergenz von \(\{s_{n_ i}(x)\}\) die \([A]^{\gamma}\)-Summierbarkeit der Reihe (1) für \(0<\gamma \leq 2\). Satz 2. Für ein gegebenes reguläres Summationsverfahren \(A=(a_{nk})\) und eine wachsende Folge \(\{n_ i\}\) natürlicher Zahlen gelte (2), ferner sei \(\alpha_ k\leq M^*/(n_{n+1}-n_ i)\) \((n_ i\leq k\leq n_{i+1})\). Dann folgt aus der Konvergenz von \(\{s_{n_ i}(x)\}\) die \([A]^{\gamma}\)-Summierbarkeit der Reihe (1) für jedes \(\gamma >0\). Im Abschnitt über Summierbarkeit und Konvergenz sind dann weitere interessante Sätze bewiesen.
scientific article; zbMATH DE number 4090116
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