Cohomological realization of a family of 1-motives
In einer früheren Arbeit des Autors [gemeinsam mit \textit{O. Jacquinot} [J. Number Theory 25, 133--151 (1986; Zbl 0667.14021)] wurde jedem Tripel \((A,f,a)\), \(A\) abelsche Varietät über einem Grundkörper \(k\), \(f: A\to A^ t\) Homomorphismus von \(A\) in sein Dual, \(a\) Punkt von \(A\), ein 1-Motiv \(M\) im Sinne von \textit{P. Deligne} [Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 44 (1974), 5-77 (1975; Zbl 0237.14003)], zugeordnet und dieses in Beziehung gesetzt zu dem einfacheren 1-Motiv \(\overline{M}=[\mathbb Z\to A]\), welches zu \(a\) gehört: Sind \(T(M)\) bzw. \(T(\overline{M})\) die ``(étale-) cohomologischen Realisierungen'' der 1-Motive, das sind für natürliche Zahlen \(n\) die Moduln der ``\(n\)-Teilungspunkte'', auf denen die Galois-Gruppe von \(k\) operiert, falls \(n\) in \(k\) invertierbar ist, so ist \(T(\overline{M})\) ein Quotient von \(T(M)\). In dieser Arbeit wird gezeigt, daß\ umgekehrt \(T(M)\) als Subquotient von \(T(\overline{M})^{\otimes 2}\) bestimmt werden kann mit Konstruktionen der linearen Algebra. Diese Moduln führen zu Galois-Erweiterungen des Grundkörpers, welche die Galois-Erweiterungen, die von den \(n\)-Teilungspunkten abelscher Varietäten erzeugt werden, verallgemeinern, und aus der genannten Konstruktion folgt, daß\ die 1-Motive \(M\) und \(\overline{M}\) dieselben ``Galois-Gruppen'' erzeugen.
scientific article; zbMATH DE number 4089695