The construction of cubature formulae for a family of integrals: A bifurcation problem
Die Autoren beschäftigen sich mit (interpolatorischen) Kubaturformeln \(Q[f]=\sum^{N}_{i-1}w_ if(x_ i,y_ i)\) für die Integrale \[ I(f)=\int^{1}_{-1}\int^{1}_{-1}(1-x^ 2)^{\alpha}(1-y^ 2)^{\alpha}f(x,y)dx\quad dy,\quad \alpha >-1; \] eine solche Formel heißt vom Grad d, wenn sie für alle Polynome vom Höchstgrad d exakt ist, nicht jedoch für alle Polynome vom Grad \(d+1\). Während Kubaturformeln vom Grad \(\leq 9\) mit minimaler Knotenzahl von \textit{H. J. Schmid} [Diss. Math. 220 (1983; Zbl 0537.41016)] für verschiedene \(\alpha\) näher untersucht worden sind, sind minimale Formeln vom Grad 11 (mit 24 Knoten) nur für \(\alpha =0\) und \(\alpha =\pm 1/2\) bekannt. In der vorliegenden Arbeit werden nun minimale Kubaturformeln vom Grad 11 bestimmt, welche gegenüber Rotationen des Integrationsbereiches um \(\pi\) /2 invariant sind, und zwar durch Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems mit 18 Gleichungen und 18 Unbekannten. Hierzu wird ein Kurvenverfolgungsprinzip verwendet: ausgehend von einer bekannten Lösung für \(\alpha =0\) wird mittels des Programmes AUTO der Parameter \(\alpha\) variiert; dabei werden insbesondere die bei \(\alpha =\pm 1/2\) auftretenden Verzweigungen beobachtet. Die Autoren kommen auf diesem Wege auch zu unerwarteten Kubaturformeln. Mit algebraischen Methoden kann bestätigt werden, daß die gefundenen Ergebnisse korrekt sind.
scientific article; zbMATH DE number 4094664