The construction of cubature formulae for a family of integrals: A bifurcation problem
type: Item
instance of: scholarly article
title: The construction of cubature formulae for a family of integrals: A bifurcation problem
zbMATH Open document ID: 0668.65018
DOI: 10.1007/BF02276917
author: Ronald Cools
author: Ann Haegemans
author: P. Verlinden
author: Dirk Roose
published in: Computing
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
review text: Die Autoren beschäftigen sich mit (interpolatorischen) Kubaturformeln \(Q[f]=\sum^{N}_{i-1}w_ if(x_ i,y_ i)\) für die Integrale \[ I(f)=\int^{1}_{-1}\int^{1}_{-1}(1-x^ 2)^{\alpha}(1-y^ 2)^{\alpha}f(x,y)dx\quad dy,\quad \alpha >-1; \] eine solche Formel heißt vom Grad d, wenn sie für alle Polynome vom Höchstgrad d exakt ist, nicht jedoch für alle Polynome vom Grad \(d+1\). Während Kubaturformeln vom Grad \(\leq 9\) mit minimaler Knotenzahl von \textit{H. J. Schmid} [Diss. Math. 220 (1983; Zbl 0537.41016)] für verschiedene \(\alpha\) näher untersucht worden sind, sind minimale Formeln vom Grad 11 (mit 24 Knoten) nur für \(\alpha =0\) und \(\alpha =\pm 1/2\) bekannt. In der vorliegenden Arbeit werden nun minimale Kubaturformeln vom Grad 11 bestimmt, welche gegenüber Rotationen des Integrationsbereiches um \(\pi\) /2 invariant sind, und zwar durch Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems mit 18 Gleichungen und 18 Unbekannten. Hierzu wird ein Kurvenverfolgungsprinzip verwendet: ausgehend von einer bekannten Lösung für \(\alpha =0\) wird mittels des Programmes AUTO der Parameter \(\alpha\) variiert; dabei werden insbesondere die bei \(\alpha =\pm 1/2\) auftretenden Verzweigungen beobachtet. Die Autoren kommen auf diesem Wege auch zu unerwarteten Kubaturformeln. Mit algebraischen Methoden kann bestätigt werden, daß die gefundenen Ergebnisse korrekt sind.
Mathematics Subject Classification ID: 65D32
Mathematics Subject Classification ID: 41A55
Mathematics Subject Classification ID: 65H10
Mathematics Subject Classification ID: 41A63
zbMATH DE Number: 4094664
zbMATH Keywords: cubature formula
zbMATH Keywords: bifurcation
zbMATH Keywords: continuation
zbMATH Keywords: symmetry
Wikidata QID: Q57779024
describes a project that uses: AUTO
describes a project that uses: AUTO-86
MaRDI profile type: Publication
cites work: Automatic computation of knots and weights of cubature formulae for circular symmetric planar regions
cites work: Another step forward in searching for cubature formulae with a minimal number of knots for the square
cites work: Economical symmetrical quadrature rules for complete polynomials over a square domain
cites work: Q3703206
cites work: The Application of Integer Programming to the Computation of Fully Symmetric Integration Formulas in Two and Three Dimensions
cites work: Kubaturformeln mit minimaler Knotenzahl
cites work: Q4725605
cites work: Perfectly Symmetric Two-Dimensional Integration Formulas with Minimal Numbers of Points
cites work: A locally parameterized continuation process
cites work: Construction of Algebraic Cubature Rules Using Polynomial Ideal Theory
cites work: On the numerical solution of non-linear equations characterizing minimal cubature formulae
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02276917
OpenAlex ID: W2521754183
DBLP publication ID: journals/computing/VerlindenCRH88
description: scientific article; zbMATH DE number 4094664