On the stability of the solutions to an integral evolution equation of the nonlinear particle transport theory
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the stability of the solutions to an integral evolution equation of the nonlinear particle transport theory
zbMATH Open document ID: 0668.76096
DOI: 10.1007/BF01556903
author: Gabriele Guerriero
author: S. Rionero
published in: Meccanica
publication date: 1987-01-01T00:00:00Z
review text: Die Verfasser betrachten die räumlich homogene nichtlineare Boltzmanngleichung mit sehr schnell abfallendem differentiellen Wirkungsquerschnitt; sie interessieren sich für die Frage, ob die Lösungen gegenüber gepulsten Injektionen von Teilchen stabil sind, d.h., wie sich Änderungen der Verteilung S(v) der Quelle QS(v)\(\delta\) (t) im Langzeitverhalten auswirken. Die Frage wird transformiert in die Frage nach Stabilität bzgl. der Anfangswerte für die Evolutionsgleichung \[ \partial f/\partial t+KQf=K\int_{{\mathbb{R}}^ 3\times {\mathbb{R}}^ 3}\pi (v,v',v'')f(t,v')f(t,v'')dv'dv''. \] Eine Störung des Anfangswertes \(f(0,v)=QS(v)\) zu \(g(0,v)=Q(S(v)+S_ 1(v))\) führt zu einer Störung \(u=g-f\) der Lösung, deren Verhalten für \(t\to \infty\) in unterschiedlicher Norm untersucht wird. Mit \[ E(t)=(1/2)\| u(t,\cdot)\|^ 2_ 2\quad und\quad \lambda =\sup_{0\leq t<\infty}\| f(t,\cdot)\|_ 2 \] ergibt sich: 1) \(\| u(t,\cdot)\|_ 2\to 0\) und \(2m\lambda <Q\) für \(E(0)<((Q- 2m\lambda)/m\sqrt{2})^ 2\) (m ist eine nur von \(\pi\) abhängige Konstante). 2) Ist \(u(t,\cdot)\in L^ 2\cap L^ 1\) und hat u(0,\(\cdot)\) kompakten Träger, so sind diese Bedingungen auch hinreichend für \(\| u(t,\cdot)\|_ 1\to 0\). 3) Ist \(u(t,\cdot)\in L^ 2\cap L^ 1\) und u(t,\(\cdot)\) Lipschitz-stetig, gleichmäßig bzgl. t, so folgt aus diesen Bedingungen auch \(\| u(t,\cdot)\|_{\infty}\to 0\). Wesentliches Hilfsmittel, das auch sonst Verwendung finden könnte, ist Satz 1: Ist \(\Omega^{\pm}(t):=\{v| u(t,v)\geq 0\); \(<0\}\), so gilt für alle t: \(O^{\pm}(t)=\Omega^{\pm}(0)\).
Mathematics Subject Classification ID: 76P05
Mathematics Subject Classification ID: 82B40
zbMATH DE Number: 4095087
zbMATH Keywords: Boltzmann integro-differential equation
zbMATH Keywords: stability
zbMATH Keywords: initial data
zbMATH Keywords: integral equation
zbMATH Keywords: particles transport theory
reviewed by: Helmut Neunzert
MaRDI profile type: Publication
cites work: Exact solutions of the Boltzmann equation
cites work: Q5569338
cites work: Q5637328
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01556903
OpenAlex ID: W4242898086
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description: scientific article; zbMATH DE number 4095087